Irgendwann in Ihrem Leben mussten Sie möglicherweise eine Reihe von festen Zahlungen über einen bestimmten Zeitraum leisten - wie z. B. Miete oder Autokosten - oder Sie haben über einen Zeitraum eine Reihe von Zahlungen erhalten. von Zeit, wie Bond-Coupons. Diese werden Annuitäten genannt. Wenn Sie den Zeitwert des Geldes verstehen, können Sie sich über Annuitäten informieren und wie ihre gegenwärtigen und zukünftigen Werte berechnet werden.

Was sind Annuitäten?

Annuitäten sind im Wesentlichen eine Reihe von festen Zahlungen, die von Ihnen innerhalb eines festgelegten Zeitraums bei einer bestimmten Häufigkeit von Ihnen verlangt oder an Sie bezahlt werden. Die häufigsten Zahlungsfrequenzen sind jährlich, halbjährlich (zweimal jährlich), vierteljährlich und monatlich. Es gibt zwei Grundtypen von Annuitäten: ordentliche Annuitäten und Annuitäten fällig.

• Ordentliche Rente: Zahlungen sind am Ende jeder Periode erforderlich. Zum Beispiel zahlen Straight Bonds in der Regel am Ende jedes Halbjahres Couponzahlungen bis zum Fälligkeitsdatum der Anleihe.
• Annuität fällig: Zahlungen sind zu Beginn jeder Periode erforderlich. Die Miete ist ein Beispiel für die Annuität. Sie sind in der Regel verpflichtet, die Miete zu zahlen, wenn Sie am Anfang des Monats einziehen und dann am ersten eines jeden Monats danach.

Da die gegenwärtigen und zukünftigen Wertberechnungen für ordentliche Annuitäten - und Annuitäten fällig sind, unterscheiden sich - werden wir zuerst die gegenwärtige und zukünftige Wertberechnung für gewöhnliche Annuitäten besprechen.

Berechnen des zukünftigen Werts einer normalen Annuität

Wenn Sie wissen, wie viel Sie pro Periode für einen bestimmten Zeitraum investieren können, ist der zukünftige Wert (FV) einer normalen Annuitätsformel nützlich, um herauszufinden, wie viel Sie haben Sie in der Zukunft, indem Sie zu Ihrem gegebenen Zinssatz investieren. Wenn Sie Zahlungen für ein Darlehen leisten, ist der zukünftige Wert nützlich bei der Bestimmung der Gesamtkosten des Darlehens.

Lassen Sie uns nun Beispiel 1 durchgehen. Betrachten Sie den folgenden Ablaufplan der Annuitäten-Cashflows:

Um den zukünftigen Wert der Annuitäten zu berechnen, müssen wir den zukünftigen Wert jedes Cashflows berechnen. Nehmen wir an, Sie erhalten in den nächsten fünf Jahren jedes Jahr 1 000 US-Dollar und Sie haben jede Zahlung mit 5% investiert. Das folgende Diagramm zeigt, wie viel Sie am Ende des Fünfjahreszeitraums hätten:

Da wir den zukünftigen Wert jeder Zahlung hinzufügen müssen, haben Sie vielleicht bemerkt, dass Sie bei einer normalen Annuität mit vielen Cashflows Es würde lange dauern, alle zukünftigen Werte zu berechnen und sie dann zusammen hinzuzufügen. Glücklicherweise bietet Mathematik eine Formel, die als Abkürzung dient, um den kumulierten Wert aller Cashflows zu ermitteln, die von einer normalen Annuität erhalten werden:

wobei C = Cashflow pro Periode i = Zinssatz n = Anzahl der Zahlungen

Unter Verwendung der obigen Formel für das obige Beispiel 1 ist dies das Ergebnis:

= $ 1000 * [5.53] = $ 5525. 63

Beachten Sie, dass der Unterschied von 1 Cent zwischen $ 5, 525. 64 und $ 5, 525. 63 auf einen Rundungsfehler in der ersten Rechnung zurückzuführen ist. Jeder Wert der ersten Berechnung muss auf den nächsten Cent gerundet werden - je mehr Zahlen in einer Berechnung gerundet werden müssen, desto wahrscheinlicher werden Rundungsfehler. Somit bietet die obige Formel nicht nur eine Abkürzung zum Finden der FV einer gewöhnlichen Annuität, sondern liefert auch ein genaueres Ergebnis.

Berechnung des Barwerts einer normalen Annuität

Wenn Sie den heutigen Wert einer zukünftigen Zahlungsserie ermitteln möchten, müssen Sie die Formel verwenden, die den Barwert einer normalen Annuität berechnet. Dies ist die Formel, die Sie als Teil einer Anleihenkalkulationsrechnung verwenden würden. Der PV einer normalen Annuität berechnet den Barwert der Kuponzahlungen, die Sie in Zukunft erhalten werden.

Für Beispiel 2 verwenden wir denselben Cashflow-Plan für Annuitäten wie in Beispiel 1. Um den gesamten diskontierten Wert zu erhalten, müssen wir den Barwert jeder zukünftigen Zahlung übernehmen und wie in Beispiel 1 addieren Sie die Cashflows zusammen.

Wiederum wird die Berechnung und das Hinzufügen all dieser Werte eine beträchtliche Zeit in Anspruch nehmen, insbesondere wenn wir viele zukünftige Zahlungen erwarten. Daher können wir eine mathematische Abkürzung für PV einer normalen Annuität verwenden.

wobei C = Cashflow pro Periode i = Zinssatz n = Anzahl der Zahlungen

Die Formel liefert uns die PV in wenigen einfachen Schritten. Hier ist die Berechnung der im Diagramm für Beispiel 2 dargestellten Annuität:

= $ 1000 * [4. 33] = $ 4329. 48

Berechnen des zukünftigen Werts eines fälligen Rentenbetrages

Wenn Sie Geldbeträge für eine fällige Rente erhalten oder dafür zahlen, sieht Ihr Cashflow-Plan wie folgt aus:

Da jede Zahlung in der Serie wird eine Periode früher gemacht, müssen wir die Formel eine Periode zurück diskontieren. Eine geringfügige Änderung der FV-of-a-ordinary-Annuity-Formel berücksichtigt Zahlungen zu Beginn jeder Periode. Verdeutlichen wir in Beispiel 3, warum diese Änderung erforderlich ist, wenn jede Zahlung in Höhe von $ 1 000 zu Beginn des Zeitraums und nicht am Ende erfolgt (Zinssatz beträgt immer noch 5%):

Beachten Sie, dass Zahlungen bei Zu Beginn der Periode wird jeder Betrag am Ende der Periode länger gehalten. Zum Beispiel, wenn die $ 1.000 am 1. Januar statt am 31. Dezember jedes Jahres investiert wurden, wäre die letzte Zahlung, bevor wir unsere Investition am Ende von fünf Jahren (am 31. Dezember) schätzen, ein Jahr vorher (1. Januar) gemacht worden und nicht am selben Tag, an dem es bewertet wird. Der zukünftige Wert der Annuitätsformel würde dann lauten:

wobei C = Cashflow pro Periode i = Zinssatz n = Anzahl der Zahlungen

Daher ist

= $ 1000 * 5. 53 * 1. 05 = $ 5801. 91

Berechnen des Barwerts eines fälligen Rentenfehlbetrages

Für den Barwert einer Annuitätenfällig-Formel müssen wir die Formel eine Periode vorziehen, da die Zahlungen für eine kürzere Zeitdauer gehalten werden. Bei der Berechnung des Barwerts gehen wir davon aus, dass die erste Zahlung heute erfolgte.

Wir könnten diese Formel für die Berechnung des Barwerts Ihrer zukünftigen Mietzahlungen verwenden, wie in einem Mietvertrag angegeben, den Sie bei Ihrem Vermieter unterzeichnen. Sagen wir für Beispiel 4, dass Sie Ihre erste Mietzahlung am Anfang des Monats leisten und den Barwert Ihres fünfmonatigen Mietvertrags am selben Tag auswerten. Ihre Barwertberechnung würde wie folgt funktionieren:

Natürlich können wir eine Formelverknüpfung verwenden, um den Barwert einer Annuität zu berechnen:

wobei C = Cashflow pro Periode i = Zinssatz > n = Anzahl der Zahlungen Daher

= $ 1000 * 4. 33 * 1. 05

= $ 4545. 95 Erinnern wir uns daran, dass der Barwert einer normalen Annuität einen Wert von $ 4, 329 ergibt. 48. Der Barwert einer gewöhnlichen Annuität ist geringer als der einer Annuität, denn je weiter zurück wir eine zukünftige Zahlung diskontieren, desto niedriger sein Barwert - jede Zahlung oder jeder Geldfluss in einer gewöhnlichen Rente erfolgt einen Zeitraum weiter in der Zukunft.

Die letzte Zeile

Jetzt können Sie sehen, wie Annuitäten beeinflussen, wie Sie den aktuellen und zukünftigen Wert eines beliebigen Geldbetrags berechnen. Denken Sie daran, dass die Zahlungshäufigkeit oder die Anzahl der Zahlungen sowie der Zeitpunkt, zu dem diese Zahlungen ausgeführt werden (ob zu Beginn oder am Ende jeder Zahlungsperiode), alle Variablen sind, die Sie bei Ihren Berechnungen berücksichtigen müssen.