Der Wert der finanziellen Vermögenswerte variiert täglich. Investoren benötigen einen Indikator, um diese oft schwer vorhersehbaren Bewegungen zu quantifizieren. Angebot und Nachfrage sind die beiden Hauptfaktoren, die sich auf die Veränderungen der Preise von Vermögenswerten auswirken. Im Gegenzug spiegeln Preisbewegungen eine Amplitude von Schwankungen wider, die die Ursachen für proportionale Gewinne und Verluste sind. Aus Sicht des Anlegers wird die Unsicherheit um solche Einflüsse und Schwankungen als Risiko bezeichnet.

Der Preis einer Option hängt von ihrer Fähigkeit ab, sich zu bewegen oder nicht, oder mit ihrer Fähigkeit, volatil zu sein. Je wahrscheinlicher es ist, sich zu bewegen, desto teurer wird seine Prämie näher am Ablauf sein. Daher wird berechnet, wie volatil ein zugrunde liegender Vermögenswert ist, um zu verstehen, wie Derivate von diesem Vermögenswert bewertet werden können.

I - Messung der Asset-Variation

Eine Möglichkeit, die Variation eines Assets zu messen, besteht darin, die täglichen Renditen (prozentuale Bewegung pro Tag) des Assets zu quantifizieren. Dies bringt uns dazu, das Konzept der historischen Volatilität zu definieren und zu diskutieren.

II - Definition

Die historische Volatilität basiert auf historischen Preisen und repräsentiert den Grad der Variabilität der Renditen eines Vermögenswerts. Diese Nummer ist ohne Einheit und wird als Prozentsatz ausgedrückt. (Mehr dazu unter: Was Volatilität wirklich bedeutet .)

III - Berechnung der historischen Volatilität

Wenn wir P (t) nennen, ist der Preis eines finanziellen Vermögenswerts (Devisenvermögen, Aktien) , Forex-Paar, etc.) zum Zeitpunkt t und P (t-1) den Preis des finanziellen Vermögenswerts zu t-1, definieren wir die tägliche Rendite r (t) des Vermögenswerts zum Zeitpunkt t um:

r (t) = ln (P (t) / P (t-1)) mit Ln (x) = natürliche Logarithmusfunktion.

Die Gesamtrückgabe R zur Zeit t ist somit:

R = r1 + r2 + r3 + 2 + … + rt-1 + rt was äquivalent ist zu:

R = Ln (P1 / P0) + … Ln (Pt-1 / Pt-2) + Ln (Pt / Pt-1)

Wir haben folgende Gleichheit:
Ln (a) + Ln (b) = Ln (a * b) > Dies ergibt:

R = Ln [(P1 / P0 * (P2 / P1) * … (Pt / Pt-1)

R = Ln [(P1. P2 … Pt-1. Pt) / (P0. P1. P2 … Pt-2. Pt-1)]

Und nach der Vereinfachung erhalten wir R = Ln (Pt / P0).

Der Ertrag wird normalerweise als Differenz der relativen Preisänderungen berechnet. Dies bedeutet, dass, wenn ein Objekt zum Zeitpunkt t einen Preis von P (t) und zum Zeitpunkt t + h> t P (t + h) aufweist, die Rückgabe lautet:

< r = (P (t + t) -P (t)) / P (t) = [P (t + h) / P (t)] - 1

Wenn der Rücklauf r klein ist, wie z. Nur ein paar Prozent haben wir:

r ≈ Ln (1 + r)

Wir können r mit dem Logarithmus des aktuellen Preises ersetzen, da:

r ≈ Ln (1 + r)

r ≈ Ln (1 + ([P (t + h) / P (t)] - 1))

r ≈ Ln (P (t + h) / P (t))

Aus einer Reihe von Schließungen Preise zum Beispiel, es genügt, den Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinanderfolgender Preise zu nehmen, um die täglichen Erträge r (t) zu berechnen.

Somit kann man auch die Gesamtrendite R berechnen, indem man nur die Anfangs- und Endpreise verwendet.

▪ Annualisierte Volatilität

Um die verschiedenen Volatilitäten über einen Zeitraum von einem Jahr vollständig zu erfassen, multiplizieren wir diese oben erhaltene Volatilität mit einem Faktor, der die Variabilität der Vermögenswerte für ein Jahr berücksichtigt.

Dazu verwenden wir die Varianz. Die Varianz ist das Quadrat der Abweichung vom Durchschnitt der täglichen Erträge für einen Tag.

Um die quadratische Zahl der Abweichungen vom Durchschnitt der täglichen Erträge für 365 Tage zu berechnen, multiplizieren wir die Varianz mit der Anzahl der Tage (365). Die annualisierte Standardabweichung ergibt sich aus der Quadratwurzel des Ergebnisses:

Varianz = σ²daily = [Σ (r (t)) ² / (n - 1)]

Für die annualisierte Varianz, wenn man davon ausgeht, dass das Jahr ist 365 Tage, und jeder Tag hat die gleiche tägliche Varianz σ² täglich erhalten wir:

Annualisierte Varianz = 365. σ²daily

Annualisierte Varianz = 365. [Σ (r (t)) ² / (n - 1) ]

Schließlich ist die Volatilität definiert als die Quadratwurzel der Varianz:
Volatilität = √ (Varianz annualisiert)

Volatilität = √ (365. Σ²daily)

Volatilität = √ (365 [Σ ( r (t)) ² / (n - 1)].)

Simulation

■ Die Daten

Wir simulieren aus der Excel-Funktion =

RANDBETWEEN

einen täglich zwischen 94 und 104. Ergebnis: ■ Berechnen der täglichen Rückgabe

In der Spalte E geben wir "Ln (P (t) / P (t-1)" ein.)

■ Berechnen der Quadrat der täglichen Erträge

In der Spalte G geben wir "(Ln (P (t) / P (t-1)) ^ 2 ein."

■ Berechnen der täglichen Varianz

Zur Berechnung der Varianz, wir erhalten die Summe der erhaltenen Quadrate und dividieren durch die (Anzahl der Tage -1). Also:

- In der F25-Zelle erhalten wir "= Summe (F6: F19)."

- In der F26-Zelle wird "= F25 / 18" berechnet, da wir 19 -1 Datenpunkte haben. für diese Berechnung.

■

Berechnen der täglichen Standardabweichung

Um die Standardabweichung auf täglicher Basis zu berechnen, müssen wir die Quadratwurzel der täglichen Varianz berechnen. Also: - In der F28-Zelle wird "= Quadrat. Wurzel (F26)" berechnet.

- In der G29-Zelle wird F28 in Prozent angezeigt.

■ Berechnen der annualisierten Varianz

Zur Berechnung der annualisierten Varianz aus der täglichen Varianz wird angenommen, dass jeder Tag die gleiche Varianz aufweist, und wir multiplizieren die tägliche Varianz mit 365 an Wochenenden. Also:

- In der F30-Zelle haben wir "= F26 * 365".

■ Berechnen der annualisierten Standardabweichung

Zur Berechnung der annualisierten Standardabweichung müssen wir nur die Quadratwurzel der annualisierten Varianz berechnen. .. Also:

- In der F32-Zelle erhalten wir "= ROOT (F30)".

- In der G33-Zelle wird F32 als Prozentsatz angezeigt.

Diese Quadratwurzel der annualisierten Varianz gibt uns die historische Volatilität.