Es ist ziemlich schwierig, sich auf die genaue Preisgestaltung eines handelbaren Vermögenswerts zu einigen, selbst am heutigen Tag. Deshalb ändern sich die Aktienkurse ständig. In der Realität ändert das Unternehmen seine Bewertung kaum auf Tagesbasis, aber der Aktienkurs und seine Bewertung ändern sich im Sekundentakt. Dies zeigt, wie schwierig es ist, für einen handelbaren Vermögenswert einen Konsens über den aktuellen Preis zu erzielen, was zu Arbitragemöglichkeiten führt. Diese Arbitragemöglichkeiten sind jedoch sehr kurzlebig.

Alles läuft auf die heutige Bewertung hinaus - was ist heute der richtige aktuelle Preis für eine erwartete zukünftige Auszahlung?

Um Arbitragemöglichkeiten zu vermeiden, müssen in einem wettbewerbsorientierten Markt Vermögenswerte mit identischen Auszahlungsstrukturen den gleichen Preis haben. Die Bewertung von Optionen war eine anspruchsvolle Aufgabe, und es wurden hohe Preisschwankungen beobachtet, die zu Arbitragemöglichkeiten führten. Black-Scholes bleibt eines der beliebtesten Modelle für Preisoptionen, hat aber seine eigenen Grenzen. (Weitere Informationen finden Sie unter: Optionspreise ). Das Binomialoptionspreismodell ist eine weitere beliebte Methode für Preisoptionen. Dieser Artikel beschreibt einige umfassende Schritt-für-Schritt-Beispiele und erläutert das zugrunde liegende risikoneutrale Konzept bei der Anwendung dieses Modells. (Zum diesbezüglichen Lesen finden Sie unter: Aufteilung des Binomialmodells auf eine Option ).

Dieser Artikel setzt die Vertrautheit des Benutzers mit Optionen und verwandten Konzepten und Begriffen voraus.

Angenommen, es gibt eine Call-Option für eine bestimmte Aktie, deren aktueller Marktpreis bei 100 USD liegt. Die ATM-Option hat einen Ausübungspreis von 100 USD mit einer Laufzeit bis zu einem Jahr. Es gibt zwei Trader, Peter und Paul, die beide zustimmen, dass der Aktienkurs entweder auf 110 Dollar steigen oder in einem Jahr auf 90 Dollar fallen wird. Beide stimmen dem erwarteten Preisniveau innerhalb eines bestimmten Zeitrahmens von einem Jahr zu, stimmen aber nicht über die Wahrscheinlichkeit des Aufwärts- (und Abwärts-) Zugs überein. Peter glaubt, dass die Wahrscheinlichkeit des Aktienpreises bei 110 Dollar liegt, während Paul glaubt, dass er 40 Prozent ist.

Basierend auf dem obigen würde wer bereit sein, mehr Preis für die Call-Option zu zahlen.

Möglicherweise Peter, da er mit hoher Wahrscheinlichkeit von der Aufwärtsbewegung ausgeht.

Sehen wir uns die Berechnungen an, um dies zu überprüfen und zu verstehen. Die beiden Vermögenswerte, von denen die Bewertung abhängt, sind die Call-Option und die zugrunde liegende Aktie. Es gibt eine Vereinbarung unter den Teilnehmern, dass der zugrunde liegende Aktienkurs innerhalb eines Jahres von derzeit 100 USD auf entweder 110 USD oder 90 USD steigen kann und es keine weiteren Kursbewegungen gibt.

In einer arbitragefreien Welt müssen wir, wenn wir ein Portfolio aus diesen beiden Vermögenswerten (Call-Option und zugrunde liegende Aktie) erstellen müssen, unabhängig davon, wo der Basispreis liegt (110 oder 90 USD), die Nettorendite des Portfolios immer Bleibt das selbe.Angenommen, wir kaufen 'd' Anteile des Basiswerts und eine Short-Call-Option, um dieses Portfolio zu erstellen.

Wenn der Preis 110 US-Dollar beträgt, werden unsere Aktien einen Wert von 110 US-Dollar * haben und wir verlieren 10 US-Dollar bei der Auszahlung von Short-Calls. Der Nettowert unseres Portfolios wird (110d - 10) sein.

Wenn der Preis auf $ 90 sinkt, werden unsere Aktien $ 90 * d wert sein und die Option verfällt wertlos. Der Nettowert unseres Portfolios wird (90d) sein.

Wenn wir wollen, dass der Wert unseres Portfolios gleich bleibt, unabhängig davon, wo der zugrunde liegende Aktienkurs hingeht, sollte unser Portfoliowert in beiden Fällen derselbe bleiben, d. e. :

=> (110d - 10) = 90d

=> d = 1/2

i. e. Wenn wir eine halbe Aktie kaufen (unter der Annahme, dass Teilkäufe möglich sind), werden wir es schaffen, ein Portfolio so zu erstellen, dass sein Wert innerhalb der vorgegebenen Zeitspanne von einem Jahr in beiden möglichen Staaten gleich bleibt. (Punkt 1)

Dieser Portfolio-Wert, angegeben durch (90d) oder (110d -10) = 45, ist ein Jahr später. Um seinen Barwert zu berechnen, kann er mit einer risikofreien Rendite (unter Annahme von 5%) diskontiert werden.

=> 90d * exp (-5% * 1 Jahr) = 45 * 0. 9523 = 42. 85 => Barwert des Portfolios

Da das Portfolio derzeit aus ½ Aktien der zugrunde liegenden Aktie besteht ( mit Marktpreis $ 100) und 1 Short Call, sollte es gleich dem Barwert sein, der über i berechnet wird. e.

=> 1/2 * 100 - 1 * Anrufpreis = 42. 85

=> Anrufpreis = $ 7. 14 Ich. e. der Anrufpreis ab heute.

Da dies auf der obigen Annahme basiert, dass der Portfoliowert unabhängig von der Art und Weise, wie der Basispreis verläuft, gleich bleibt (Punkt 1 oben), spielt die Wahrscheinlichkeit einer Aufwärts- oder Abwärtsbewegung keine Rolle. Das Portfolio bleibt unabhängig von den zugrunde liegenden Kursbewegungen risikolos.

In beiden Fällen (von einem Anstieg auf 110 USD bis zu einem Kurs von 90 USD) ist unser Portfolio neutral für das Risiko und erwirtschaftet eine risikolose Rendite.

Daher werden beide Händler, Peter und Paul, bereit sein, die gleichen $ 7 zu bezahlen. 14 für diese Call-Option, unabhängig von ihren eigenen unterschiedlichen Wahrnehmungswahrscheinlichkeiten für Aufwärtsbewegungen (60% und 40%). Ihre individuell wahrgenommenen Wahrscheinlichkeiten spielen bei der Optionsbewertung keine Rolle, wie das obige Beispiel zeigt.

Wenn die einzelnen Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen, dann gäbe es Arbitragemöglichkeiten. In der realen Welt existieren solche Arbitragemöglichkeiten mit geringen Preisunterschieden und verschwinden kurzfristig.

Aber wo ist die viel gehypte Volatilität in all diesen Berechnungen, was ein wichtiger (und heikelster) Faktor ist, der die Optionsbewertung beeinflusst?

Die Volatilität ist bereits in der Art der Problemdefinition enthalten. Denken Sie daran, dass wir zwei (und nur zwei - und damit den Namen "Binomial") von Preisniveaus (110 und 90) annehmen. Die Volatilität ist implizit in dieser Annahme enthalten und daher automatisch enthalten - 10% oder so (in diesem Beispiel).

Führen wir nun eine Überprüfung der geistigen Verhältnisse durch, um festzustellen, ob unser Ansatz korrekt und mit den gängigen Black-Scholes-Preisen übereinstimmt. (Siehe: Das Black-Scholes-Optionsbewertungsmodell ).

Hier sind die Screenshots der Ergebnisse des Optionsrechners (mit freundlicher Genehmigung von OIC), die sehr gut mit unserem berechneten Wert übereinstimmen.

Leider ist die reale Welt nicht so einfach wie "nur zwei Staaten". Es gibt mehrere Preisstufen, die vom Lager bis zum Ablauf erreicht werden können.

Ist es möglich, all diese verschiedenen Ebenen in unser Binomialpreismodell einzubeziehen, das auf nur zwei Ebenen beschränkt ist? Ja, es ist sehr gut möglich, und um es zu verstehen, lass uns in eine einfache Mathematik einsteigen.

Einige Zwischenberechnungsschritte werden übersprungen, um sie zusammenzufassen und auf Ergebnisse zu konzentrieren.

Um fortzufahren, verallgemeinern wir dieses Problem und die Lösung:

"X" ist der aktuelle Marktpreis für Aktien und "X * u" und "X * d" sind die zukünftigen Preise für Aufwärts- und Abwärtsbewegungen 't ' Jahre später. Der Faktor 'u' wird größer als 1 sein, da er die Bewegung nach oben anzeigt, und 'd' wird zwischen 0 und 1 liegen. Für das obige Beispiel ist u = 1. 1 und d = 0. 9.

Die Auszahlungsoptionen der Call-Optionen sind 'P _aufwärts ' und 'P _dn ' für Aufwärts- und Abwärtsbewegungen zum Zeitpunkt des Ablaufs.

Wenn wir ein heute erworbenes Portfolio von 's'-Aktien aufbauen und eine Call-Option verkürzen, dann nach der Zeit' t ':

Wert des Portfolios bei Aufwärtsbewegung = s * X * u - P _up

Wert des Portfolios bei Abwärtsbewegung = s * X * d - P _dn

Für eine ähnliche Bewertung in beiden Fällen der Kursbewegung

=> s * X * u - P < aufwärts _{= s * X * d - P} dn _{=> s = (P}

aufwärts _{- P} dn _{) / (X * (ud) )) = die Nr. von Aktien zum Kauf für risikoloses Portfolio} Der zukünftige Wert des Portfolios am Ende von 't' Jahren wird

sein. Im Falle von Aufwärtsbewegung = s * X * u - P

bis _{= (P} aufwärts _{- P} dn _{) / (X (ud)) * X * u - P} aufwärts _{Der heutige Tageswert kann durch Diskontierung erhalten werden. es mit risikoloser Rendite:}

Dies sollte dem Portfolio-Bestand von 's'-Aktien zum X-Preis und dem Kurzzeitwert' c 'i entsprechen. e. das gegenwärtige Halten von (s * X - c) sollte oben entsprechen. Das Lösen für c ergibt schließlich c als:

WENN WIR DIE KUNDENPRÄMIEN KURZ HABEN SOLLTEN, SIND ZUSÄTZLICH ZU PORTFOLIO NICHT SUBTRAKTIONEN.

Eine andere Möglichkeit, die obige Gleichung zu schreiben, besteht darin, sie wie folgt neu zu ordnen:

q als

nehmen, dann wird die Gleichung zu

Die Neuordnung der Gleichung in Form von "q" hat eine neue Perspektive eröffnet.

"q" kann nun als die Wahrscheinlichkeit der Aufwärtsbewegung des Underlying interpretiert werden (wie "q" mit P

aufwärts _{und "1-q" mit P} dn _{). Insgesamt repräsentiert die obige Gleichung den heutigen Optionspreis i. e. der diskontierte Wert seiner Auszahlung bei Ablauf.} Wie unterscheidet sich diese Wahrscheinlichkeit "q" von der Wahrscheinlichkeit einer Aufwärts- oder Abwärtsbewegung des Basiswerts?

Der Wert des Aktienpreises zum Zeitpunkt t = q * X * u + (1-q) * X * d

Ersetzt man den Wert von q und ordnet den Aktienkurs zum Zeitpunkt t zu

.. e. In dieser angenommenen Zwei-Staaten-Welt steigt der Aktienpreis einfach um die risikofreie Rendite, d.h. e. genau wie ein risikofreier Vermögenswert und bleibt somit unabhängig von jeglichem Risiko.Alle Investoren sind nach diesem Modell gleichgültig gegenüber dem Risiko, und das ist das risikoneutrale Modell.

Wahrscheinlichkeit "q" und "(1-q)" sind als risikoneutrale Wahrscheinlichkeiten bekannt und die Bewertungsmethode wird als risikoneutrales Bewertungsmodell bezeichnet.

Das obige Beispiel hat eine wichtige Anforderung - die zukünftige Auszahlungsstruktur ist mit Genauigkeit erforderlich (Level $ 110 und $ 90). Im realen Leben ist eine solche Klarheit über stufenbasierte Preisniveaus nicht möglich; Vielmehr bewegt sich der Preis zufällig und kann sich auf mehreren Ebenen einpendeln.

Erweitern wir das Beispiel weiter. Angenommen, zwei Stufen sind möglich. Wir kennen den zweiten Schritt der finalen Auszahlungen und wir müssen die Option heute bewerten (dh im ersten Schritt).

Rückwärtsarbeitend kann die Zwischenbewertung des ersten Schrittes (bei t = 1) unter Verwendung der finalen Auszahlungen im zweiten Schritt erfolgen (t = 2), und dann unter Verwendung dieser berechneten ersten Schrittbewertung (t = 1) kann die gegenwärtige Bewertung (t = 0) unter Verwendung der obigen Berechnungen erreicht werden.

So erhalten Sie Optionspreis unter der Nr. 2, Auszahlungen bei 4 und 5 werden verwendet. Um Preise für Nein zu erhalten. In 3 werden Auszahlungen bei 5 und 6 verwendet. Schließlich werden die berechneten Auszahlungen bei 2 und 3 verwendet, um die Preisfindung bei Nein zu erhalten. 1.

Bitte beachten Sie, dass in unserem Beispiel derselbe Faktor für die Bewegung nach oben (und unten) bei beiden Schritten angenommen wird - u (und d) werden zusammengesetzt angewendet.

Hier ist ein funktionierendes Beispiel mit Berechnungen:

Angenommen, eine Put-Option mit einem Ausübungspreis von $ 110 wird derzeit bei $ 100 gehandelt und verfällt in einem Jahr. Der jährliche risikofreie Zinssatz liegt bei 5%. Der Preis wird voraussichtlich um 20% steigen und alle sechs Monate um 15% sinken.

Strukturieren wir das Problem:

Hier ist u = 1. 2 und d = 0. 85, X = 100, t = 0. 5

unter Verwendung der oben abgeleiteten Formel von

erhalten wir q = 0. 35802832

Wert der Put-Option bei Punkt 2,

Bei P

upup _{Bedingung, wird zugrunde liegen = 100 * 1. 2 * 1. 2 = $ 144 führt zu P} upup _{= null} Bei P

updn _{ist die zugrunde liegende Bedingung = 100 * 1. 2 * 0. 85 = $ 102 führt zu P} updn _{= $ 8} Bei P

dndn _{ist die zugrunde liegende Bedingung = 100 * 0. 85 * 0. 85 = 72 $. 25 führt zu P} dndn _{= $ 37. 75} p

2 = 0,975309912 * (0 35802832 * 0 + (1 - 0 35802832) * 8) = 5 008970741 _{Entsprechend p} 3 > = 0. 975309912 * (0.35802832 * 8 + (1-0. 35802832) * 37. 75) = 26. 42958924

Und damit Wert der Put-Option, p ₁ = 0. 975309912 * (0. 35802832 * 5. 008970741+ (1-0. 35802832) * 26. 42958924) =

$ 18. 29. _{In ähnlicher Weise erlauben es Binomialmodelle, die gesamte Optionsdauer zu brechen, um mehrere Stufen / Stufen weiter zu verfeinern. Mit Hilfe von Computerprogrammen oder Tabellenkalkulationen kann man schrittweise rückwärts arbeiten, um den aktuellen Wert der gewünschten Option zu erhalten.} Lassen Sie uns mit einem weiteren Beispiel schließen, das drei Schritte für die Binomialoptionsbewertung beinhaltet: Nehmen Sie eine Put-Option europäischen Typs an, die 9 Monate bis zum Ausübungspreis von 12 USD und einen aktuellen Basispreis von 10 USD hat. Nehmen Sie eine risikofreie Rate von 5% für alle Perioden an. Angenommen, alle drei Monate kann sich der zugrunde liegende Kurs um 20% nach oben oder unten bewegen, was zu u = 1 führt. 2, d = 0. 8, t = 0. 25 und 3 Schritt Binomialbaum.

Die roten Zahlen zeigen die zugrunde liegenden Preise an, während die roten Zahlen die Auszahlung der Put-Option anzeigen.

Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit q berechnet sich zu 0. 531446.

Unter Verwendung des obigen Werts von q und Auszahlungswerten bei t = 9 Monaten werden die entsprechenden Werte bei t = 6 Monate berechnet als:

Ferner unter Verwendung dieser berechnete Werte bei t = 6, Werte bei t = 3 und dann bei t = 0 sind:

wobei der aktuelle Tageswert der Put-Option als $ 2 angegeben wird. 18, die ziemlich nahe bei der ist, die mit dem Black-Scholes-Modell berechnet wurde ($ 2, 3)

The Bottom Line

Obwohl die Verwendung von Computerprogrammen viele dieser intensiven Berechnungen leicht machen kann, bleibt die Vorhersage zukünftiger Preise erhalten. eine Hauptbeschränkung von Binomialmodellen für Optionspreise. Je feiner die Zeitintervalle sind, desto schwieriger wird es, die Auszahlungen am Ende jeder Periode genau vorherzusagen. Die Flexibilität, Änderungen zu verschiedenen Zeitpunkten wie erwartet zu integrieren, ist jedoch ein zusätzliches Plus, das sie für die Bewertung der amerikanischen Optionen, einschließlich der frühen Ausübungsbewertungen, geeignet macht. Die mit dem Binomialmodell berechneten Werte stimmen eng mit denen überein, die aus anderen gängigen Modellen wie den Black-Scholes berechnet wurden, was die Nützlichkeit und Genauigkeit von Binomialmodellen für die Optionsbewertung anzeigt. Binomiale Preismodelle können entsprechend der Präferenz eines Traders entwickelt werden und funktionieren als Alternative zu Black-Scholes.