Zinsen sind definiert als die Kosten der Geldaufnahme und können, je nachdem wie sie berechnet werden, als einfache Zinsen oder Zinseszins klassifiziert werden.

Der einfache Zinssatz wird auf dem Hauptbetrag oder dem ursprünglichen Betrag eines Darlehens berechnet. Zinseszinsen werden auf den Kapitalbetrag und auch auf die kumulierten Zinsen der Vorperioden berechnet und können daher als "Zinsen auf Zinsen" angesehen werden. "

Es kann einen großen Unterschied in der Höhe der Zinsen geben, die für ein Darlehen zu zahlen sind, wenn Zinsen auf einer zusammengesetzten Basis und nicht auf einer einfachen Basis berechnet werden. Auf der positiven Seite kann die Magie des Compoundierens zu Ihrem Vorteil bei Ihren Investitionen beitragen und kann ein potenter Faktor bei der Vermögensbildung sein.

Während es sich bei einfachen und zusammengesetzten Interessen um grundlegende Finanzkonzepte handelt, kann Ihnen die gründliche Kenntnis dieser Faktoren helfen, bessere Entscheidungen zu treffen, wenn Sie einen Kredit aufnehmen oder Investitionen tätigen, wodurch Sie langfristig Tausende von Dollar einsparen können.

Grundlegende praktische Beispiele

Einfache Zinsen

Die Formel zur Berechnung einfacher Zinsen lautet:

Einfache Verzinsung = Haupt x Zinssatz x Laufzeit des Darlehens

= P xixn < So, wenn einfache Zinsen bei 5% auf ein $ 10.000 Darlehen, das für einen Zeitraum von drei Jahren aufgenommen wird, berechnet wird, berechnet der Gesamtbetrag der Zinsen, die vom Kreditnehmer zu zahlen sind: $ 10, 000 x 0. 05 x 3 = $ 1, 500.

Der Zinssatz für dieses Darlehen beträgt $ 500 pro Jahr oder $ 1.500 über die Laufzeit von drei Jahren.

Zinseszins

Die Formel für die Berechnung der Zinseszinsen in einem Jahr lautet:

Zinseszins = Gesamtbetrag des Grundbetrags und des Zinses in der Zukunft (oder des zukünftigen Werts) abzüglich Nennbetrag (oder Barwert) > = [P (1 + i)

n

] - P ^{= P [(1 + i)} n

- 1] ^{wobei P = Haupt, i = Jahreszinssatz in Prozent, und n = Anzahl der Zinsperioden für ein Jahr.} Fortsetzung mit dem obigen Beispiel, was wäre die Höhe der Zinsen, wenn es auf einer zusammengesetzten Basis berechnet wird? In diesem Fall wäre es: $ 10, 000 [(1 + 0. 05)

3

- 1] = $ 10, 000 [1. 157625 - 1] = $ 1, 576. 25. ^{Während die Gesamtzinsen, die über den Dreijahreszeitraum dieses Darlehens gezahlt werden, $ 1, 576. 25 betragen, ist der Zinsbetrag im Gegensatz zu einfachen Zinsen nicht für alle drei Jahre gleich. weil Zinseszinsen auch kumulierte Zinsen aus früheren Perioden berücksichtigen. Die am Ende eines jeden Jahres zu zahlenden Zinsen sind in der folgenden Tabelle aufgeführt.} Compounding Periods

Bei der Berechnung von Zinseszinsen macht die Anzahl der Zinszeiträume einen signifikanten Unterschied. Im Allgemeinen ist die Menge der Zinseszinsen um so größer, je höher die Anzahl der Mischungsperioden ist. Für jeden Dollar eines Darlehens über einen bestimmten Zeitraum wird daher der Zinsbetrag, der jährlich 10% beträgt, niedriger ausfallen als die Zinsen, die halbjährlich bei 5% anfallen, was wiederum niedriger ist als die bei 2 aufgelaufenen Zinsen.5% vierteljährlich.

In der Formel zur Berechnung der Zinseszinsen müssen die Variablen "i" und "n" angepasst werden, wenn die Anzahl der Zinszeiträume mehr als einmal pro Jahr beträgt.

Das heißt, innerhalb der Klammern muss "i" durch "n", die Anzahl der zusammengesetzten Perioden pro Jahr, geteilt werden. Außerhalb der Klammern muss "n" mit "t" multipliziert werden, also die Gesamtlänge der Investition.

Daher werden für ein 10-jähriges Darlehen von 10%, bei dem die Zinsen halbjährlich verzinst werden (Anzahl der Zinsbildungszeiträume = 2), i = 5% (dh 10% / 2) und n = 20 (dh 10 x 2).

Um den Gesamtwert mit Zinseszinsen zu berechnen, würden Sie diese Gleichung verwenden:

= [P (1 + i / n)

nt

] - P ^{= P [(1 + i / n)} nt

- 1] ^{wobei P = Kapital, i = jährlicher Zinssatz in Prozent, n = Anzahl der Zinsperioden pro Jahr und t = Gesamtzahl der Jahre für die Investition oder Darlehen.} Die folgende Tabelle zeigt den Unterschied, den die Anzahl der Zinsdifferenzierungsperioden im Laufe der Zeit für ein Darlehen von 10 000 Dollar für einen Zeitraum von 10 Jahren machen kann.

Zusammensetzungshäufigkeit

Nein. von Compounding Periods

Werte für i / n und nt	Total Interest	Jährlich	1
i / n = 10%, nt = 10	$ 15, 937. 42	Halbjährlich	2 i / n = 5%, nt = 20
$ 16, 532. 98	vierteljährlich	4 i / n = 2,5%, nt = 40	$ 16, 850. 64
Monatlich	12	i / n = 0. 833%, nt = 120	$ 17, 059. 68
Zugehörige Konzepte	In dieser Abschnitt, führen wir einige grundlegende Konzepte mit Compounding verbunden.	Zeitwert des Geldes	Da Geld nicht "frei" ist, sondern Kosten in Form von Zinszahlungen verursacht, folgt daraus, dass ein Dollar heute mehr als ein Dollar in der Zukunft wert ist. Dieses Konzept ist als Zeitwert des Geldes bekannt und bildet die Grundlage für relativ fortgeschrittene Techniken wie Discounted-Cash-Flow (DCF) -Analysen. Das Gegenteil von Compounding ist bekannt als Diskontierung; der Diskontierungsfaktor kann als Kehrwert des Zinssatzes betrachtet werden und ist der Faktor, mit dem ein zukünftiger Wert multipliziert werden muss, um den gegenwärtigen Wert zu erhalten. (Weitere Informationen finden Sie unter

Verständnis des Zeitwerts von Geld

.)

Die Formeln zum Erhalten des zukünftigen Werts (FV) und des aktuellen Werts (PV) lauten wie folgt:

FV = PV (1 + i / n) nt und PV = FV / (1 + i / n)

nt

Zum Beispiel der zukünftige Wert von $ 10 000, der für drei Jahre auf 5% jährlich erhöht wird: ^{= $ 10, 000 (1 + 0. 05)} 3 ^{= $ 10, 000 (1. 157625)}

= $ 11, 576. 25.

Der gegenwärtige Wert von $ 11, 576 25 diskontiert auf 5% für drei Jahre: ^{= $ 11, 576. 25 / (1 + 0. 05)}

3

= $ 11, 576. 25 / 1. 157625

= $ 10, 000

Der Kehrwert von 1. 157625, der gleich 0. 8638376 ist, ist in diesem Fall der Abzinsungsfaktor. ^{Die Regel von 72}

Die Regel von 72 berechnet die ungefähre Zeit, über die sich eine Investition bei einer gegebenen Rendite oder einem Zinssatz "i" verdoppelt, und wird durch (72 / i) gegeben. Es kann nur für die jährliche Compoundierung verwendet werden.

Beispiel: Eine Investition mit einer jährlichen Rendite von 6% verdoppelt sich innerhalb von 12 Jahren.

Eine Investition mit einer jährlichen Rendite von 8% wird sich in 9 Jahren verdoppeln.

Compound Annual Growth Rate (CAGR)

Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) wird für die meisten Finanzanwendungen verwendet, die die Berechnung einer einzelnen Wachstumsrate über einen bestimmten Zeitraum erfordern.

Wenn beispielsweise Ihr Investmentportfolio innerhalb von fünf Jahren von 10 000 auf 16 000 USD angewachsen ist, wie lautet dann die CAGR? Im Wesentlichen bedeutet dies, dass PV = - $ 10, 000, FV = $ 16, 000, nt = 5, daher muss die Variable "i" berechnet werden. Mit einem Finanzrechner oder einer Excel-Tabelle kann gezeigt werden, dass i = 9. 86%.

(Beachten Sie, dass Ihre anfängliche Investition (PV) in Höhe von 10 000 $ laut Cashflow-Konvention mit einem negativen Vorzeichen angezeigt wird, da es sich um einen Mittelabfluss handelt. PV und FV müssen notwendigerweise entgegengesetzte Vorzeichen für "i" haben. in der obigen Gleichung).

Real-life-Anwendungen

Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate (CAGR) wird in großem Umfang zur Berechnung von Renditen über Zeiträume für Aktien, Investmentfonds und Investmentportfolios verwendet. Die CAGR wird auch verwendet, um festzustellen, ob ein Investmentfondsmanager oder Portfoliomanager die Marktrendite über einen bestimmten Zeitraum überschritten hat. Wenn beispielsweise ein Marktindex innerhalb eines Zeitraums von fünf Jahren Gesamtrenditen von 10% erzielt hat, ein Fondsmanager jedoch im selben Zeitraum nur jährliche Renditen von 9% erzielt hat, hat sich der Fondsmanager schlechter entwickelt als der Markt. (Siehe auch

Compound Annual Growth Rate: Was Sie wissen sollten

.)

Die CAGR kann auch verwendet werden, um die erwartete Wachstumsrate von Investmentportfolios über lange Zeiträume zu berechnen, was für solche nützlich ist. Zwecke wie die Rettung für den Ruhestand. Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

• 1 . Ein risikoaverser Investor ist zufrieden mit einer moderaten jährlichen Rendite von 3% in seinem Portfolio. Ihr gegenwärtiges Portfolio von $ 100, 000 würde daher nach 20 Jahren auf $ 180, 611 wachsen. Im Gegensatz dazu würde ein risikotoleranter Investor, der eine jährliche Rendite von 6% für sein Portfolio erwartet, nach 20 Jahren einen Anstieg auf 100 000 USD auf 320 714 USD verzeichnen. 2
• . Die CAGR kann verwendet werden, um abzuschätzen, wie viel verstaut werden muss, um für ein bestimmtes Ziel zu sparen. Ein Paar, das $ 50, 000 über 10 Jahre in Richtung zu einer Anzahlung auf einer Eigentumswohnung sparen möchte, würde $ 4, 165 pro Jahr sparen müssen, wenn sie eine jährliche Rückkehr (CAGR) von 4% auf ihren Ersparnissen voraussetzen. Wenn sie bereit sind, ein kleines Extra-Risiko einzugehen und eine CAGR von 5% zu erwarten, müssten sie jährlich $ 3 975 sparen.

3 . Die CAGR kann auch verwendet werden, um die Tugenden des Investierens früher als später zu demonstrieren. Wenn das Ziel darin besteht, im Alter von 65 Jahren 1 Million US-Dollar einzusparen, müsste ein 25-Jähriger bei einer CAGR von 6% jährlich 6.462 US-Dollar sparen, um dieses Ziel zu erreichen. Ein 40-Jähriger hingegen müsste $ 18, 227 oder fast das Dreifache dieser Summe sparen, um das gleiche Ziel zu erreichen.

CAGRs tauchen auch häufig in Wirtschaftsdaten auf. Zum Beispiel stieg Chinas Pro-Kopf-BIP von 193 Dollar im Jahr 1980 auf 6 091 im Jahr 2012. Wie hoch ist das jährliche Pro-Kopf-BIP in diesem 32-Jahres-Zeitraum?Die Wachstumsrate "i" beträgt in diesem Fall beachtliche 11,4%. Zu ​​berücksichtigende Punkte

Stellen Sie sicher, dass Sie die genaue jährliche Auszahlungsrate (APR) Ihres Darlehens kennen, da die Berechnungsmethode und die Anzahl der Aufzinsungsperioden sich auf Ihre monatlichen Zahlungen auswirken können. Während Banken und Finanzinstitute standardisierte Methoden haben, um die Zinsen für Hypotheken und andere Kredite zu berechnen, können die Berechnungen von einem Land zum anderen leicht variieren. Compounding kann bei Ihren Investitionen zu Ihren Gunsten funktionieren, aber es kann auch bei der Rückzahlung von Darlehen für Sie arbeiten. Wenn Sie zum Beispiel die Hälfte Ihrer Hypothek zweimal im Monat bezahlen, anstatt die volle Zahlung einmal im Monat zu leisten, wird Ihre Amortisationszeit kürzer und Sie sparen beträchtliche Zinsen.

• Compounding kann gegen Sie arbeiten, wenn Sie Kredite mit sehr hohen Zinssätzen wie Kredit- oder Kaufhausschulden begleichen. Zum Beispiel würde ein Kreditkarten-Saldo von $ 25.000, der zu einem Zinssatz von 20% - zusammengesetzt monatlich - geführt wird, zu einer Gesamtzinsbelastung von $ 5.485 über ein Jahr oder $ 457 pro Monat führen.

The Bottom Line

• Lassen Sie die Magie der Compoundierung für Sie arbeiten, indem Sie regelmäßig investieren und die Häufigkeit Ihrer Kreditrückzahlungen erhöhen. Wenn Sie sich mit den grundlegenden Konzepten von einfachem und zusammengesetztem Interesse vertraut machen, können Sie bessere finanzielle Entscheidungen treffen, wodurch Sie Tausende von Dollar sparen und Ihr Vermögen im Laufe der Zeit aufwerten können. (Um mehr über Zinssätze zu erfahren, lesen Sie
• Was bestimmt den Zinssatz in meinem Geldmarktkonto?)