In der Finanzwelt sind die Black-Scholes- und die Binomialoptionsmodelle zwei der wichtigsten Konzepte der modernen Finanztheorie. Beide werden verwendet, um eine Option zu bewerten, und jede hat ihre eigenen Vor- und Nachteile.

Einige der grundlegenden Vorteile der Verwendung des Binomialmodells sind:

• Mehrfachperiodensicht
• Transparenz
• Fähigkeit, Wahrscheinlichkeiten zu integrieren

In diesem Artikel werden wir die Vorteile der Verwendung des Binomialmodells anstelle der Black-Scholes untersuchen, einige grundlegende Schritte zur Entwicklung des Modells bereitstellen und erklären, wie es verwendet wird.

Mehrperioden-Ansicht
Das Binomial-Modell ermöglicht eine Mehrperioden-Ansicht des Preises der zugrunde liegenden Vermögenswerte sowie des Preises der Option. Im Gegensatz zum Black-Scholes-Modell, das ein numerisches Ergebnis basierend auf Eingaben liefert, erlaubt das Binomialmodell die Berechnung des Vermögenswerts und der Option für mehrere Perioden zusammen mit dem Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode (siehe unten).

Der Vorteil dieser Mehrperiodenansicht besteht darin, dass der Benutzer die Änderung des Vermögenspreises von Periode zu Periode visualisieren und die Option basierend auf Entscheidungen zu verschiedenen Zeitpunkten bewerten kann. Für eine amerikanische Option, die jederzeit vor dem Ablaufdatum ausgeübt werden kann, kann das Binomialmodell einen Einblick gewähren, wann die Ausübung der Option attraktiv erscheint und wann sie länger gehalten werden sollte. Wenn man sich den Binomialbaum der Werte ansieht, kann man im Voraus bestimmen, wann eine Entscheidung über die Ausübung erfolgen kann. Wenn die Option einen positiven Wert hat, gibt es die Möglichkeit der Ausübung, während sie, wenn sie einen Wert unter Null hat, für längere Zeiträume gehalten werden sollte.

Transparenz
In engem Zusammenhang mit der Mehrperiodenprüfung steht die Fähigkeit des Binomialmodells, Transparenz über den zugrunde liegenden Wert des Vermögenswerts und die Option im Laufe der Zeit zu schaffen. Das Black-Scholes-Modell hat fünf Eingaben:

1. Risikofreier Zinssatz
2. Ausübungspreis
3. Aktueller Preis des Vermögenswerts
4. Restlaufzeit
5. Implizite Volatilität des Vermögenswerts

Wenn diese Datenpunkte werden in ein Black-Scholes-Modell eingegeben, das Modell berechnet einen Wert für die Option, aber die Auswirkungen dieser Faktoren werden nicht von Periode zu Periode offengelegt. Beim Binomialmodell kann man die Veränderung des Preises der zugrunde liegenden Vermögenswerte von Periode zu Periode und die entsprechende Änderung des Optionspreises sehen.

Integrationswahrscheinlichkeiten
Die grundlegende Methode zur Berechnung des Binomialoptionsmodells besteht darin, für jeden Zeitraum die gleiche Wahrscheinlichkeit für Erfolg und Misserfolg bis zum Ablauf der Option zu verwenden. Man kann jedoch für jede Periode unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten auf der Grundlage neuer Informationen, die mit der Zeit erhalten werden, einbeziehen.

Zum Beispiel kann es eine 50/50-Chance geben, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögens innerhalb eines Zeitraums um 30% steigt oder fällt.Für die zweite Periode kann die Wahrscheinlichkeit, dass der Preis des zugrunde liegenden Vermögenswertes steigt, jedoch auf 70/30 steigen. Nehmen wir an, wir evaluieren eine Ölquelle. wir sind uns nicht sicher, was der Wert dieses Ölbrunnens ist, aber es gibt eine Chance von 50/50, dass der Preis steigen wird. Wenn die Ölpreise in Periode 1 steigen, wodurch das Öl wertvoller wird und die Fundamentaldaten des Marktes nun auf anhaltende Erhöhungen der Ölpreise hindeuten, könnte die Wahrscheinlichkeit einer weiteren Aufwertung des Preises nun bei 70% liegen. Das Binomialmodell ermöglicht diese Flexibilität; das Black-Scholes-Modell nicht.

Entwickeln des Modells
Das einfachste Binomialmodell hat zwei erwartete Renditen, deren Wahrscheinlichkeiten sich zu 100% summieren. In unserem Beispiel gibt es zu jedem Zeitpunkt zwei mögliche Ergebnisse für die Ölquelle. Eine komplexere Version könnte drei oder mehr verschiedene Ergebnisse haben, von denen jedem eine Eintrittswahrscheinlichkeit gegeben wird.

Um die Renditen pro Periode ab dem Zeitpunkt Null (jetzt) ​​berechnen zu können, müssen wir den Wert des Basiswerts in einer Periode bestimmen. In diesem Beispiel werden wir Folgendes annehmen:

• Preis des Basiswerts (P): $ 500
• Ausübungspreis der Call-Option (K): $ 600
• Risikofreier Zinssatz für den Zeitraum: 1%
• Preisänderung in jedem Zeitraum: 30% nach oben oder unten

Der Preis des Basiswerts beträgt 500 USD, und in Periode 1 kann er entweder 650 USD oder 350 USD betragen. Das wäre das Äquivalent von 30% Zunahme oder Abnahme in einem Zeitraum. Da der Ausübungspreis der Call-Optionen, die wir halten, 600 USD beträgt, wäre der Wert der Call-Option null, wenn der Basiswert weniger als 600 USD beträgt. Übersteigt der Basiswert dagegen den Ausübungspreis von 600 USD, wäre der Wert der Call-Option die Differenz zwischen dem Preis des Basiswerts und dem Ausübungspreis. Die Formel für diese Berechnung lautet [max (P-K), 0].

Nehmen wir an, es besteht eine Chance von 50%, nach oben zu gehen, und eine Wahrscheinlichkeit von 50%, zu fallen. Anhand der Werte von Periode 1 wird als Beispiel berechnet, dass [max ($ 650-600, 0) * 50%] + [max (350-600, 0) * 50%] = 50 * 50% + 0 * 50% = 25 $. Um den aktuellen Wert der Call-Option zu erhalten, müssen wir die $ 25 in Periode 1 auf Periode 0 zurückrechnen, also $ 25 / (1 + 1%) = $ 24. 75. Sie können jetzt sehen, dass sich der erwartete Wert des Basiswerts auch ändert, wenn die Wahrscheinlichkeiten geändert werden. Wenn die Wahrscheinlichkeit geändert werden sollte, kann sie auch für jede nachfolgende Periode geändert werden und muss nicht notwendigerweise überall gleich bleiben.

Das Binomialmodell kann leicht auf mehrere Perioden erweitert werden. Obwohl das Black-Scholes-Modell das Ergebnis eines verlängerten Verfallsdatums berechnen kann, erweitert das Binomialmodell die Entscheidungspunkte auf mehrere Perioden.

Verwendungen für das Binomialmodell
Neben der Berechnung des Wertes einer Option kann das Binomialmodell auch für Projekte oder Investitionen mit einem hohen Grad an Unsicherheit, Kapitalbudgetierung und Ressourcenallokationsentscheidungen verwendet werden. ebenso wie Projekte mit mehreren Zeiträumen oder einer eingebetteten Option, die zu bestimmten Zeitpunkten fortgesetzt oder abgebrochen werden kann.

Ein einfaches Beispiel ist ein Projekt, bei dem nach Öl gebohrt wird. Die Unsicherheit dieses Projekttyps ergibt sich aus der mangelnden Transparenz, ob das zu bohrende Land überhaupt Öl hat, die Ölmenge, die gebohrt werden kann, ob Öl gefunden wird und der Preis, zu dem das Öl einmal verkauft werden kann. extrahiert.

Das binomiale Optionsmodell kann dabei helfen, Entscheidungen an jedem Punkt des Ölbohrprojekts zu treffen. Zum Beispiel, nehmen wir an, wir bohren, aber die Ölquelle wird nur dann rentabel sein, wenn wir genug Öl finden und der Ölpreis eine bestimmte Menge übersteigt. Es wird eine ganze Periode dauern, um zu bestimmen, wie viel Öl wir zu diesem Zeitpunkt gewinnen können und wie hoch der Ölpreis ist. Nach der ersten Periode (zum Beispiel ein Jahr) können wir basierend auf diesen beiden Datenpunkten entscheiden, ob wir das Projekt fortsetzen oder aufgeben wollen. Diese Entscheidungen können fortlaufend getroffen werden, bis ein Punkt erreicht ist, wo kein Wert für das Bohren vorhanden ist. Zu diesem Zeitpunkt wird der Brunnen aufgegeben.

Das Endergebnis
Das Binomialmodell ermöglicht mehrere Periodenansichten des Preises der zugrundeliegenden Vermögenswerte und des Preises der Option für mehrere Zeiträume sowie den Bereich möglicher Ergebnisse für jede Periode und bietet eine detailliertere Ansicht. Während sowohl das Black-Scholes-Modell als auch das Binomialmodell zum Bewerten von Optionen verwendet werden können, hat das Binomialmodell einfach eine breitere Anwendungspalette, ist intuitiver und einfacher zu verwenden.