Lognormal und Normalverteilung

Lognormal und Normalverteilung

Die Mathematik hinter Finanzen kann ein bisschen verwirrend und langweilig sein, aber zum Glück machen die meisten Computerprogramme die harten Berechnungen. Auch wenn die Berechnung eines jeden Schrittes in einer komplizierten Gleichung wahrscheinlich mehr ist, als die meisten Investoren tun, ist das Verständnis der verschiedenen statistischen Begriffe, ihrer Bedeutung und der bei der Analyse von Investitionen am sinnvollsten, entscheidend für die Auswahl der geeigneten Sicherheit und die gewünschte Wirkung. Portfolio. Ein Beispiel dafür ist die Wahl zwischen normalen und lognormalen Verteilungen. Diese Verteilungen werden oft in der Forschungsliteratur erwähnt, aber die Schlüsselfragen sind: Was bedeuten sie, worin unterscheiden sich die beiden und wie beeinflussen sie Investitionsentscheidungen? (Weitere Informationen finden Sie unter: Finden Sie die richtige Anpassung mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen .)

Normal versus Lognormal

Sowohl normale als auch lognormale Verteilungen werden in der statistischen Mathematik verwendet, um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu beschreiben. Das Umdrehen einer Münze ist ein leicht verständliches Beispiel für Wahrscheinlichkeit. Wenn Sie eine Münze 1000 mal umdrehen, wie ist die Verteilung der Ergebnisse? Das heißt, wie oft wird es auf Köpfen oder Schwänzen landen? (Antwort: Die Hälfte der Zeit geht voran, die andere Hälfte.) Dies ist ein sehr vereinfachtes Beispiel, um die Wahrscheinlichkeit und die Verteilung der Ergebnisse zu beschreiben. Es gibt viele Arten von Verteilungen, von denen eine die normale oder Glockenkurvenverteilung ist. (Siehe Abbildung 1.)

In einer Normalverteilung liegen 68% (34% + 34%) der Ergebnisse innerhalb einer Standardabweichung und 95% (68% + 13. 5% + 13. 5%) innerhalb von 2 Standardabweichungen. In der Mitte (der 0-Punkt im Bild oben) sind der Median oder der Mittelwert in der Menge, der Modus, der Wert, der am häufigsten vorkommt, und der Mittelwert, das arithmetische Mittel, alle gleich.

Die Lognormalverteilung unterscheidet sich in mehrfacher Hinsicht von der Normalverteilung. Ein Hauptunterschied besteht in seiner Form: wo die Normalverteilung symmetrisch ist, eine Lognormal nicht. Da die Werte in einer Lognormalverteilung positiv sind, erzeugen sie eine rechtsverzerrte Kurve. (Siehe Abb. 2)

Diese Verzerrung ist wichtig, um zu bestimmen, welche Verteilung für die Investitionsentscheidung geeignet ist. Eine weitere Unterscheidung ist eine zugrundeliegende Annahme, dass die Werte, die verwendet werden, um eine Lognormalverteilung abzuleiten, normalverteilt sind. Lassen Sie mich mit einem Beispiel verdeutlichen. Ein Investor möchte einen erwarteten zukünftigen Aktienkurs wissen. Da Aktien mit einer erhöhten Rate wachsen, muss sie einen Wachstumsfaktor verwenden. Um mögliche erwartete Preise zu berechnen, wird sie den aktuellen Aktienkurs verwenden und ihn mit verschiedenen Renditen multiplizieren (die mathematisch abgeleitete exponentielle Faktoren sind, die auf Compounding basieren) und die als normal verteilt angenommen werden.Wenn der Anleger die Renditen kontinuierlich erhöht, erstellt er eine logarithmische Normalverteilung, die immer positiv ist, selbst wenn einige der Renditen negativ sind, was bei einer normalen Verteilung 50% der Zeit passieren wird. Der zukünftige Aktienkurs wird immer positiv sein, da Aktienkurse nicht unter $ 0 fallen können!

Wann man Normal- versus Lognormalverteilung verwendet

Die obige Beschreibung war, wenn auch etwas kompliziert, vorgesehen, um uns zu dem zu führen, was für Investoren wirklich wichtig ist: wann jede Methode bei der Entscheidungsfindung anzuwenden ist. Lognormal ist, wie wir beschrieben haben, äußerst nützlich bei der Analyse von Aktienkursen. Solange der verwendete Wachstumsfaktor als normalverteilt angenommen wird (wie wir mit der Rücklaufrate annehmen), ist die Lognormalverteilung sinnvoll. Die Normalverteilung kann nicht zur Modellierung von Aktienkursen verwendet werden, da sie eine negative Seite aufweist und die Aktienkurse nicht unter null fallen können.

Eine weitere ähnliche Verwendung der lognomalen Verteilung ist die Preisgestaltung von Optionen. Das Black-Scholes-Modell, das für Preisoptionen verwendet wird, verwendet die Lognormal-Verteilung als Grundlage für die Bestimmung von Optionspreisen. (Weitere Informationen finden Sie unter: Optionspreise: Black-Scholes-Modell .)

Umgekehrt funktioniert die Normalverteilung bei der Berechnung der Gesamtrenditen besser. Der Grund für die Verwendung der Normalverteilung ist, dass die gewichtete Durchschnittsrendite (das Produkt aus der Gewichtung eines Wertpapiers in einem Portfolio und seiner Rendite) die tatsächliche Portfolio-Rendite (die positiv oder negativ sein kann) genauer beschreibt, insbesondere wenn die Gewichte variieren stark. Das folgende Beispiel ist ein typisches Beispiel:

Portfolio-Bestände Gewichte Rendite Gewichtete Rendite

Aktie A 40% 12% 40% * 12% = 4,8%

Aktie B 60% 6% 60% * 6% = 3. 6%

Gesamte gewichtete Durchschnittsrendite = 4,8% + 3,6% = 8,4%

Verwendung der Lognormal-Rendite für die gesamte Portfolio-Performance, auch wenn die Berechnung über einen längeren Zeitraum schneller ist , wird die einzelnen Aktiengewichte nicht erfassen können, und das kann die Rendite enorm verzerren. Außerdem können Portfoliorenditen positiv oder negativ sein, und eine Lognormalverteilung wird die negativen Aspekte nicht erfassen.

Bottom Line

Obwohl die Nuancen, die normale und lognormale Verteilungen unterscheiden, uns die meiste Zeit entgehen können, wird die Kenntnis des Aussehens und der Eigenschaften jeder Verteilung einen Einblick in die Modellierung von Portfoliorenditen und zukünftigen Aktienkursen geben.