Carl Friedrich Gauß war ein brillanter Mathematiker, der im frühen 19. Jahrhundert lebte und der Welt quadratische Gleichungen, Methoden der kleinsten Quadrate und Normalverteilung gab. Obwohl Pierre Simon LaPlace 1809 als der ursprüngliche Begründer der Normalverteilung galt, wird Gauß oft die Ehre für die Entdeckung zuteil, weil er frühzeitig über das Konzept schrieb und seit 200 Jahren Gegenstand zahlreicher Studien von Mathematikern ist. In der Tat wird diese Verteilung oft als "Gaußsche Verteilung" bezeichnet. Die gesamte Statistikstudie stammt von Gauss und ermöglichte es uns, unter anderem Märkte, Preise und Wahrscheinlichkeiten zu verstehen. Die heutige Terminologie definiert die Normalverteilung als Glockenkurve mit "normalen" Parametern. Und da der einzige Weg, um Gauß und die Glockenkurve zu verstehen, das Verständnis von Statistiken ist, wird dieser Artikel eine Glockenkurve erstellen und sie auf ein Handelsbeispiel anwenden.

Mittelwert, Median und Modus
Zur Bestimmung der Verteilungen gibt es drei Methoden: Mittelwert, Median und Modus. Mittelwerte werden faktorisiert, indem alle Ergebnisse addiert und durch die Anzahl der Ergebnisse dividiert werden, um den Durchschnitt zu erhalten. Der Median wird faktorisiert, indem die beiden mittleren Zahlen einer Stichprobe addiert und durch zwei geteilt werden, oder indem einfach der mittlere Wert aus einer Ordinalsequenz genommen wird. Der Modus ist die häufigste Zahl in einer Verteilung von Werten. Die beste Methode, um einen Einblick in eine Zahlenfolge zu erhalten, besteht darin, Mittel zu verwenden, da es alle Zahlen mittelt und somit am reflexivsten für die gesamte Verteilung ist.

Dies war der Gaußsche Ansatz und seine bevorzugte Methode. Was wir hier messen, sind Parameter der zentralen Tendenz oder um zu antworten, wohin unsere Stichprobenergebnisse gehen. Um dies zu verstehen, müssen wir unsere Ergebnisse beginnend mit 0 in der Mitte plotten und +1, +2 und +3 Standardabweichungen rechts und -1, -2 und -3 links in Bezug auf den Mittelwert darstellen. Null "bezieht sich auf das Verteilungs-Mittel. (Viele Hedgefonds implementieren mathematische Strategien. Um mehr zu erfahren, lesen Sie Quantitative Analyse von Hedgefonds und Multivariate Modelle: Die Monte-Carlo-Analyse .)

Standardabweichung und Varianz
Wenn die Werte einem normalen Muster folgen, finden wir 68% aller Ergebnisse innerhalb -1 und +1 Standardabweichungen, 95% fallen innerhalb von zwei Standardabweichungen und 99% fallen innerhalb von drei Standardabweichungen des Mittelwerts. Aber das ist nicht genug, um uns über die Kurve zu erzählen. Wir müssen die tatsächliche Varianz und andere quantitative und qualitative Faktoren bestimmen. Varianz beantwortet die Frage nach der Verteilung unserer Distribution. Es berücksichtigt die Möglichkeiten, warum Ausreißer in unserer Stichprobe existieren können und hilft uns, diese Ausreißer zu verstehen und wie sie identifiziert werden können.Wenn beispielsweise ein Wert sechs Standardabweichungen über oder unter dem Mittelwert fällt, kann er für die Analyse als Ausreißer klassifiziert werden.

Standardabweichungen sind eine wichtige Metrik, die einfach die Quadratwurzeln der Varianz sind. Moderne Begriffe nennen diese Dispersion. Wenn wir den Mittelwert und die Standardabweichung in einer Gaußschen Verteilung kennen, können wir die Prozentsätze der Bewertungen kennen, die innerhalb von plus oder minus 1, 2 oder 3 Standardabweichungen vom Mittelwert liegen. Dies wird Konfidenzintervall genannt. So wissen wir, dass 68% der Verteilungen innerhalb von plus oder minus 1 Standardabweichung liegen, 95% innerhalb von plus oder minus zwei Standardabweichungen und 99% innerhalb von plus oder minus 3 Standardabweichungen. Gauß nannte diese "Wahrscheinlichkeitsfunktionen". (Weitere Informationen zur statistischen Analyse finden Sie unter Volatilitätsmaße verstehen .)

Skew und Kurtosis
In diesem Artikel ging es bisher um die Erläuterung des Mittelwerts und der verschiedenen Berechnungen, die uns helfen sollen, es näher. Sobald wir unsere Verteilungswerte gezeichnet haben, haben wir im Grunde genommen unsere Glockenkurve über alle Noten gezogen, vorausgesetzt, dass sie Eigenschaften der Normalität besitzen. Das ist also noch nicht genug, denn wir haben Schwänze auf unserer Kurve, die erklärt werden müssen, um die gesamte Kurve besser zu verstehen. Um dies zu tun, gehen wir zu den dritten und vierten Momenten der Statistik der Verteilung, die als Skew und Kurtosis bezeichnet wird.

Skewness of Tails misst die Asymmetrie der Verteilung. Ein positiver Versatz weist eine Abweichung vom Mittelwert auf, der positiv und rechts verzerrt ist, während ein negativer Versatz eine Abweichung vom mittleren versetzten links aufweist - im Wesentlichen neigt die Verteilung dazu, auf einer bestimmten Seite des Mittels verzerrt zu sein. Ein symmetrischer Versatz hat 0 Varianz, die eine perfekte Normalverteilung bildet. Wenn die Glockenkurve zuerst mit einem langen Schwanz gezeichnet wird, ist dies positiv. Der lange Schwanz am Anfang vor dem Knoten der Glockenkurve gilt als negativ verzerrt. Wenn eine Verteilung symmetrisch ist, wird die Summe der kubischen Abweichungen über dem Mittelwert die kubischen Abweichungen unter dem Mittelwert ausgleichen. Eine verzerrte rechte Verteilung hat einen Versatz größer als Null, während eine verzerrte linke Verteilung einen Versatz kleiner als Null hat. (Die Kurve kann ein leistungsfähiges Handelsinstrument sein: Lesen Sie dazu mehr unter Börsenrisiko: Die Schwänze schwingen .)

Kurtosis erklärt die Spitzen- und Wertkonzentrationseigenschaften der Verteilung. Eine negative überschüssige Kurtosis, bezeichnet als Platykurtose, wird als eine ziemlich flache Verteilung charakterisiert, bei der es eine kleinere Konzentration von Werten um den Mittelwert herum gibt und die Schwänze wesentlich dicker sind als eine mesokutische (normale) Verteilung. Auf der anderen Seite enthält eine leptokurtische Verteilung dünne Schwänze, da ein Großteil der Daten im Mittelwert konzentriert ist.

Schräge ist wichtiger, um Handelspositionen zu bewerten als Kurtosis. Die Analyse festverzinslicher Wertpapiere erfordert eine sorgfältige statistische Analyse, um die Volatilität eines Portfolios zu bestimmen, wenn die Zinssätze variieren. Modelle zur Vorhersage der Bewegungsrichtung müssen Schiefe und Kurtosis berücksichtigen, um die Performance eines Anleihenportfolios vorherzusagen.Diese statistischen Konzepte werden weiterhin zur Ermittlung von Preisbewegungen für viele andere Finanzinstrumente wie Aktien, Optionen und Währungspaare angewendet. Skews werden verwendet, um Optionspreise zu messen, indem implizite Volatilitäten gemessen werden.

Anwendung auf den Handel
Die Standardabweichung misst die Volatilität und fragt, welche Art von Performance-Rendite erwartet werden kann. Kleinere Standardabweichungen können ein geringeres Risiko für eine Aktie bedeuten, während eine höhere Volatilität eine höhere Unsicherheit bedeuten kann. Händler können Schlusskurse vom Durchschnitt messen, wie er vom Durchschnitt verteilt wird. Die Dispersion würde dann die Differenz vom tatsächlichen Wert zum Durchschnittswert messen. Ein größerer Unterschied zwischen den beiden bedeutet eine höhere Standardabweichung und Volatilität. Preise, die weit vom Mittelwert abweichen, kehren oft zum Mittelwert zurück, so dass Händler diese Situationen nutzen können. Preise, die in einem kleinen Bereich gehandelt werden, sind bereit für einen Ausbruch.

Der häufig verwendete technische Indikator für Standardabweichungsgeschäfte ist die Bollinger Band®, weil sie ein Maß für die Volatilität sind, das bei zwei Standardabweichungen für obere und untere Bänder mit einem gleitenden 21-Tage-Durchschnitt festgelegt ist. Die Gauss-Verteilung war nur der Anfang des Verständnisses von Marktwahrscheinlichkeiten. Es führte später zu Time Series und Garch Models, sowie mehr Anwendungen von Skew wie der Volatility Smile.