Die Normal (Bell Curve) Distribution

-Datensätze (wie die Höhe von 100 Menschen, die von 45 Schülern in einer Klasse erzielten Punkte usw.) neigen dazu, viele Werte am selben Datenpunkt oder innerhalb des gleichen Bereichs. Diese Verteilung von Datenpunkten wird als Normalverteilung oder Glockenkurvenverteilung bezeichnet. Zum Beispiel können in einer Gruppe von 100 Individuen 10 unter 5 Fuß groß sein, 65 können zwischen 5 und 5 liegen. 5 Fuß und 25 können über 5,5 Fuß sein. Diese bereichsgebundene Verteilung kann wie folgt geplottet werden:

In ähnlicher Weise können Datenpunkte, die in Graphen für einen gegebenen Datensatz dargestellt werden, verschiedenen Verteilungstypen ähneln. Drei der häufigsten sind linksbündige, rechtsbündige und verwürfelte Verteilungen:

Beachten Sie die rote Trendlinie in jedem dieser Diagramme. Dies zeigt grob den Trend der Datenverteilung an. Die erste "LEFT Aligned Distribution" gibt an, dass ein Großteil der Datenpunkte in den unteren Bereich fällt. Im zweiten "RIGHT Aligned Distribution" -Diagramm liegt die Mehrheit der Datenpunkte am oberen Ende des Bereichs, während die letzte, "Jumbled Distribution", einen gemischten Datensatz ohne einen eindeutigen Trend darstellt.

Es gibt viele Fälle, in denen die Verteilung von Datenpunkten tendenziell um einen zentralen Wert liegt, und dieser Graph zeigt eine perfekte Normalverteilung, die auf beiden Seiten mit der höchsten Anzahl von Datenpunkten gleichmäßig ausgeglichen ist. konzentriert in der Mitte.

Hier ist ein perfekter, normal verteilter Datensatz.

Der zentrale Wert hier ist 50, der die meiste Anzahl von Datenpunkten hat, und die Verteilung verjüngt sich einheitlich zu extremen Endwerten von 0 und 100, die die geringste Anzahl von Datenpunkten haben. Die Normalverteilung ist symmetrisch um den zentralen Wert mit der Hälfte der Werte auf jeder Seite.

Viele Beispiele aus der Praxis passen zur Glockenkurvenverteilung:

• Werfen Sie eine faire Münze viele Male (sagen wir 100 Mal oder mehr) und Sie erhalten eine ausgeglichene Normalverteilung von Köpfen und Schwänzen.
• Wirf ein Paar fairer Würfel viele Male (sagen wir 100 Mal oder mehr) und das Ergebnis wird eine ausgeglichene, normale Verteilung sein, die um die Zahl 7 zentriert ist und sich gleichmäßig zu extremen Endwerten von 2 und 12 hin verjüngt. Die Größe von Individuen in einer Gruppe von beträchtlicher Größe und von Personen, die in einer Klasse erhalten werden, folgt ebenfalls normalen Verteilungsmustern.
• Im Finanzwesen wird angenommen, dass Änderungen der Log-Werte
• der Forex-Kurse, Preisindizes und Aktienkurse normal verteilt sind.Die Beziehung zu Finanzen und Investitionen

Jede Investition hat zwei Aspekte: Risiko und Rendite. Investoren suchen nach dem niedrigstmöglichen Risiko für die höchstmögliche Rendite. Die Normalverteilung quantifiziert diese beiden Aspekte durch das Mittel für die Renditen und die Standardabweichung für das Risiko.(Weitere Informationen finden Sie unter:

Mittelwert-Varianz-Analyse .) Mittelwert

oder Erwarteter Wert Die durchschnittliche Kursänderung einer bestimmten Aktie könnte 1 5% täglich betragen - was bedeutet, dass es im Durchschnitt um 1. 5% steigt. Dieser Mittelwert oder erwartete Wert, der eine Rückkehr anzeigt, kann durch Berechnen des Durchschnitts bei einem ausreichend großen Datensatz erhalten werden, der historische tägliche Preisänderungen dieses Bestands enthält. Je höher der Mittelwert, desto besser.

Standardabweichung

Die Standardabweichung gibt den Betrag an, um den die Werte im Mittel vom Mittelwert abweichen. Je höher die Standardabweichung, desto riskanter ist die Investition, da dies zu mehr Unsicherheit führt.

Hier ist eine grafische Darstellung des Gleichen:

Die graphische Darstellung der Normalverteilung durch ihren Mittelwert und ihre Standardabweichung ermöglicht daher die Darstellung sowohl von Renditen als auch von Risiken innerhalb eines klar definierten Bereichs.

Es hilft zu wissen (und sicher sein), dass, wenn ein Datensatz dem normalen Verteilungsmuster folgt, sein Mittelwert es uns ermöglicht zu wissen, welche Rendite zu erwarten ist, und seine Standardabweichung wird es uns ermöglichen zu wissen, dass etwa 68% der die Werte liegen innerhalb von 1 Standardabweichung, 95% innerhalb von 2 Standardabweichungen und 99% der Werte liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen. Ein Datensatz mit einem Mittelwert von 1. 5 und einer Standardabweichung von 1 ist viel riskanter als ein anderer Datensatz mit einem Mittelwert von 1. 5 und einer Standardabweichung von 0. 1.

Diese Werte werden für jedes ausgewählte Asset (dh Aktien, Anleihen und Fonds) wird einen Anleger auf die erwarteten Renditen und Risiken aufmerksam machen.

Es ist einfach, dieses Konzept anzuwenden und das Risiko und die Rendite einer einzelnen Aktie, einer Anleihe oder eines Fonds darzustellen, aber kann dies auf ein Portfolio mit mehreren Vermögenswerten erweitert werden?

Einzelpersonen beginnen mit dem Handel, indem sie eine einzelne Aktie oder Anleihe kaufen oder in einen Investmentfonds investieren. Allmählich tendieren sie dazu, ihre Bestände zu erhöhen und mehrere Aktien, Fonds oder andere Vermögenswerte zu kaufen, wodurch ein Portfolio entsteht. In diesem inkrementellen Szenario bauen die Einzelnen ihre Portfolios ohne Strategie oder viel Überlegung auf. Professionelle Fondsmanager, Trader und Market-Maker verfolgen eine systematische Methode, um ihr Portfolio mit Hilfe eines mathematischen Ansatzes aufzubauen, der als moderne Portfoliotheorie (MPT) bezeichnet wird und auf dem Konzept der "Normalverteilung" basiert. "

Moderne Portfolio-Theorie

Die moderne Portfolio-Theorie bietet einen systematischen mathematischen Ansatz, der darauf abzielt, die erwartete Rendite eines Portfolios für ein bestimmtes Portfoliorisiko zu maximieren, indem die Anteile verschiedener Vermögenswerte ausgewählt werden. Alternativ bietet es auch an, das Risiko für ein bestimmtes Niveau der erwarteten Rendite zu minimieren.

Um dieses Ziel zu erreichen, sollten die Vermögenswerte, die in das Portfolio aufgenommen werden sollen, nicht ausschließlich aufgrund ihrer individuellen Leistung ausgewählt werden, sondern vielmehr danach, wie sich jeder Vermögenswert im Verhältnis zu den anderen Vermögenswerten im Portfolio verhalten wird.

Kurz und bündig definiert MPT, wie sich die Portfolio-Diversifizierung am besten für die bestmöglichen Ergebnisse erreichen lässt: Maximale Renditen für ein akzeptables Risikoniveau oder minimales Risiko für ein gewünschtes Renditeniveau.

Die Bausteine ​​

Das MPT war ein so revolutionäres Konzept, als es eingeführt wurde, dass seine Erfinder einen Nobelpreis erhielten. Diese Theorie lieferte erfolgreich eine mathematische Formel, um die Diversifikation beim Investieren zu leiten.

Diversifizierung ist eine Risikomanagementmethode, bei der das Risiko "Alle Eier in einem Korb" durch Anlagen in nicht korrelierte Aktien, Sektoren oder Anlageklassen beseitigt wird. Idealerweise wird eine positive Wertentwicklung eines Vermögenswerts im Portfolio die negative Wertentwicklung anderer Vermögenswerte aufheben.

Um die durchschnittliche Rendite des Portfolios zu bestimmen, das

n unterschiedliche Vermögenswerte hat, wird die anteilsgewichtete Kombination der Renditen der einzelnen Vermögenswerte berechnet. Aufgrund der Natur der statistischen Berechnungen und der Normalverteilung wird die Gesamtportfolio-Rendite (R p _{) wie folgt berechnet:} die Summe (Σ) wobei w

i _{das anteilige Gewicht von asset i im Portfolio, R} i _{ist die Rendite (Mittelwert) des Vermögenswerts i.} Das Portfoliorisiko (oder die Standardabweichung) ist eine Funktion der Korrelationen der enthaltenen Vermögenswerte für alle Vermögenswertpaare (in Bezug zueinander im Paar). Aufgrund der Art der statistischen Berechnungen und der Normalverteilung wird das Gesamtportfoliorisiko (Std-dev)

p _{wie folgt berechnet:} wobei cor-cof der Korrelationskoeffizient zwischen den Erträgen der Vermögenswerte i und j ist. und sqrt ist die Quadratwurzel.

Dies sorgt für die relative Leistung jedes Assets in Bezug auf das andere.

Obwohl es mathematisch komplex erscheint, beinhaltet das einfache Konzept, das hier angewendet wird, nicht nur die Standardabweichungen der einzelnen Assets, sondern auch die der gegenseitigen Assets.

Ein gutes Beispiel gibt es hier von der University of Washington.

Ein kurzes Beispiel

Stellen wir uns als Gedankenexperiment vor, wir sind ein Portfoliomanager, der Kapital erhalten hat und mit der Aufgabe betraut ist, wie viel Kapital zwei verfügbaren Vermögenswerten (A & B) zugewiesen werden sollte, damit Rückkehr ist maximal und Risiko ist am niedrigsten.

Wir haben auch die folgenden Werte verfügbar:

R

a _{= 0. 175} R

b _{= 0. 055} (Std-dev) < a

= 0.258 _(Std-dev) b

= 0. 115 _(Std-dev) ab

= -0. 004875 _(Cor-cof) ab

= -0. 164 _{Beginnend mit einer gleichen 50-50-Zuweisung zu jedem Asset A & B berechnet der R} p

zu 0. 115 und (Std-dev) _p kommt zu 0. 1323 Ein einfacher Vergleich zeigt uns, dass für dieses 2 Anlageportfolio sowohl die Rendite als auch das Risiko in der Mitte zwischen den einzelnen Werten jedes Vermögenswerts liegt. _{Unser Ziel ist es jedoch, die Rendite des Portfolios über den bloßen Durchschnitt eines einzelnen Vermögenswerts hinaus zu verbessern und das Risiko zu reduzieren, sodass es geringer ist als das der einzelnen Vermögenswerte.} Nehmen wir nun eine Kapitalzuweisungsposition von 1,5 in Asset A und eine -0. 5 Kapitalallokationsposition in Aktiva B. (Negative Kapitalallokation bedeutet einen Shorting der Aktien und des Kapitals, die für den Kauf des Überschusses an anderen Vermögenswerten mit positiver Kapitalallokation verwendet wurden. Mit anderen Worten: Wir schließen die Aktie B für 0.5 mal Kapital und verwende dieses Geld um Aktien A für den Betrag 1. 5 mal Kapital zu kaufen.)

Unter Verwendung dieser Werte erhalten wir R

p

als 0. 1604 und (Std-dev) < p _{als 0. 4005.} Auf ähnliche Weise können wir weiterhin verschiedene Zuweisungsgewichte für die Elemente A und B verwenden und unterschiedliche Sätze von Rp und (Std-dev) p erreichen. Entsprechend der gewünschten Rendite (Rp) kann man das bestmögliche Risikopegel (std-dev) p wählen. Alternativ kann für eine gewünschte Risikostufe die beste verfügbare Portfolio-Rendite ausgewählt werden. In jedem Fall ist es durch dieses mathematische Modell der Portfolio-Theorie möglich, das Ziel zu erreichen, ein effizientes Portfolio mit der gewünschten Risiko-Rendite-Kombination zu schaffen. _{Die Verwendung von automatisierten Werkzeugen ermöglicht eine einfache und reibungslose Erkennung der bestmöglichen zugewiesenen Proportionen ohne langwierige manuelle Berechnungen.} Die effiziente Grenze, Capital Asset Pricing Model (CAPM) und Asset Pricing mit MPT entwickeln sich ebenfalls aus dem gleichen Normalverteilungsmodell und sind eine Erweiterung von MPT.

Die Herausforderungen für MPT (und die zugrunde liegende Normalverteilung):

Unglücklicherweise ist kein mathematisches Modell perfekt und jedes weist Unzulänglichkeiten und Einschränkungen auf.

Die Grundannahme, dass Aktienrenditen der Normalverteilung folgen, wird immer wieder in Frage gestellt. Es gibt genügend empirische Beweise für Fälle, in denen Werte nicht der angenommenen Normalverteilung entsprechen. Wenn komplexe Modelle auf solchen Annahmen basieren, kann dies zu Ergebnissen mit großen Abweichungen führen.

Wenn wir uns weiter mit MPT befassen, müssen die Berechnungen und Annahmen über den Korrelationskoeffizienten und die Kovarianz, die (basierend auf historischen Daten) noch feststehend sind, nicht unbedingt für zukünftige erwartete Werte zutreffen. Zum Beispiel zeigten die Anleihe- und Aktienmärkte im Zeitraum von 2001 bis 2004 eine perfekte Korrelation auf dem britischen Markt, wo die Renditen beider Vermögenswerte gleichzeitig zurückgingen. In der Realität wurde das Gegenteil in langen historischen Zeiträumen vor 2001 beobachtet.

Das Anlegerverhalten wird in diesem mathematischen Modell nicht berücksichtigt. Steuern und Transaktionskosten werden vernachlässigt, auch wenn eine zersplitterte Kapitalallokation und die Möglichkeit des Short-Assets angenommen wird.

In der Realität kann keine dieser Annahmen zutreffen, was bedeutet, dass realisierte finanzielle Erträge erheblich von erwarteten Gewinnen abweichen können.

The Bottom Line:

Mathematische Modelle bieten einen guten Mechanismus, um einige Variablen mit einzelnen, verfolgbaren Zahlen zu quantifizieren. Aber aufgrund der Einschränkungen von Annahmen können Modelle scheitern. Die Normalverteilung, die die Grundlage der Portfolio-Theorie bildet, muss nicht notwendigerweise auf Aktien und andere Preiskennzahlen von Finanzanlagen angewendet werden. Die Portfolio-Theorie selbst enthält viele Annahmen, die kritisch geprüft werden sollten, bevor wichtige finanzielle Entscheidungen getroffen werden.