Volatilität ist das häufigste Maß für das Risiko, aber es gibt mehrere Varianten. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, lesen Sie Volatilität verwenden, um das zukünftige Risiko zu messen .) In diesem Artikel werden wir die einfache Volatilität verbessern und den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) diskutieren.

Historische Vs. Implizite Volatilität

Lassen Sie uns zunächst diese Metrik in ein bisschen Perspektive setzen. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass die Vergangenheit Prolog ist; Wir messen die Geschichte in der Hoffnung, dass sie vorhersagend ist. Implizite Volatilität ignoriert hingegen die Geschichte; es löst die durch die Marktpreise implizierte Volatilität. Sie hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, wenn auch implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält.

Wenn wir uns nur auf die drei historischen Ansätze konzentrieren (links oben), haben sie zwei Schritte gemeinsam:

1. Berechnen der Serie von periodischen Ergebnissen
2. Anwenden eines Gewichtungsschemas >

Zuerst berechnen wir die periodische Rendite. Das ist in der Regel eine Serie von täglichen Erträgen, bei der jede Rendite in ständig zusammengesetzten Begriffen ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (dh der heutige Preis geteilt durch den Preis gestern und so weiter).

Dies führt zu einer Reihe von täglichen Ergebnissen, von u

i _{bis u} i-m _{, abhängig davon, wie viele Tage (m = Tage) wir messen.} Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. Im vorigen Artikel haben wir gezeigt, dass die einfache Varianz unter ein paar akzeptablen Vereinfachungen der Durchschnitt der quadrierten Renditen ist:

Beachten Sie, dass dies jede der periodischen Renditen summiert, dann dividiert diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, es ist wirklich nur ein Durchschnitt der periodischen Renditen. Anders gesagt, wird jeder Quadratrückkehr ein gleiches Gewicht gegeben. Wenn also Alpha (a) ein Gewichtungsfaktor ist (speziell a = 1 / m), dann sieht eine einfache Varianz etwa so aus:

Das EWMA verbessert einfache Varianz

Die Schwäche dieses Ansatzes ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht verdienen. Die gestrige (sehr aktuelle) Rendite hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die Rendite des letzten Monats. Dieses Problem wird durch Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts (EWMA) behoben, bei dem neuere Renditen die Varianz stärker berücksichtigen.
Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein, der als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als eins sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle von gleichen Gewichten jeder Rückgabewert mit einem Multiplikator wie folgt gewichtet:

Zum Beispiel tendiert RiskMetrics

TM ^{, _{ein Unternehmen für das Finanzrisikomanagement dazu, ein Lambda von 0.94 oder 94%. In diesem Fall wird die erste (jüngste) periodische Quadratwiederkehr mit (1-0. 94) (. 94)}} 0 ^{= 6% gewichtet. Die nächste quadrierte Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts; in diesem Fall 6% mal 94% = 5,64%. Und das Gewicht des dritten vorherigen Tages ist gleich (1-0. 94) (0,94)} 2 = 5,30%. ^{Das ist die Bedeutung von "exponentiell" in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. H. Lambda, der kleiner als eins sein muss) des Gewichtes des vorherigen Tages. Dies stellt eine Varianz sicher, die gegenüber neueren Daten gewichtet oder verzerrt ist. (Weitere Informationen finden Sie im Excel-Arbeitsblatt für die Volatilität von Google.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google wird unten gezeigt.} Einfache Volatilität wiegt jede einzelne periodische Rendite um 0. 196%, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre täglicher Aktienkursdaten. Das sind 509 tägliche Erträge und 1/509 = 0. 196%). Aber beachten Sie, dass Spalte P ein Gewicht von 6%, dann 5,64%, dann 5,3% und so weiter zuweist. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA.

Denken Sie daran: Nachdem wir die ganze Reihe (in Spalte Q) summiert haben, haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir daran denken, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen.

Wie unterscheidet sich die tägliche Volatilität zwischen Varianz und EWMA in Googles Fall? Es ist signifikant: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4%, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4% an (siehe die Tabelle für Details). Offensichtlich hat sich Googles Volatilität in letzter Zeit beruhigt; daher könnte eine einfache Varianz künstlich hoch sein.

Die heutige Varianz ist eine Funktion der Varianz früherer Tage

Sie werden bemerken, dass wir eine lange Reihe von exponentiell abfallenden Gewichtungen berechnen müssen. Wir werden hier nicht die Mathematik anwenden, aber eines der besten Merkmale des EWMA ist, dass die gesamte Serie praktischerweise auf eine rekursive Formel reduziert wird:

Rekursiv bedeutet, dass die heutigen Varianzreferenzen (dh eine Funktion der Varianz des vorherigen Tages) .. Sie können diese Formel auch in der Tabelle finden, und sie erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Berechnung der Langhand! Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) entspricht der gestrigen Varianz (gewichtet mit Lambda) plus der gestrigen quadrierten Rendite (gewichtet um eins minus Lambda). Beachten Sie, wie wir einfach zwei Terme zusammen hinzufügen: die gewichtete Varianz von gestern und die gewichtete, quadrierte Rendite von gestern.

Trotzdem ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höherer Lambda-Wert (z. B. 94% von RiskMetric) zeigt einen langsameren Verfall in der Serie an - relativ gesehen werden wir mehr Datenpunkte in der Serie haben und sie werden langsamer "abfallen". Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, weisen wir auf einen höheren Zerfall hin: Die Gewichte fallen schneller ab und als direkte Folge des schnellen Abklingens werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda eine Eingabe, so dass Sie mit seiner Empfindlichkeit experimentieren können).

Zusammenfassung

Die Volatilität ist die momentane Standardabweichung einer Aktie und die am weitesten verbreitete Risikometrik.Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können die Varianz historisch oder implizit messen (implizite Volatilität). Bei der historischen Messung ist die einfachste Methode die einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Varianz ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht erhalten. Wir stehen also vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch ferne (weniger relevante) Daten aufgelöst. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz, indem den periodischen Renditen Gewichte zugewiesen werden. Auf diese Weise können wir sowohl eine große Stichprobengröße verwenden, als auch neueren Ergebnissen mehr Gewicht verleihen.