Ihr Anlageberater schlägt Ihnen ein monatliches Einkommensanlageprogramm vor, das jeden Monat eine variable Rendite verspricht. Sie werden nur dann in sie investieren, wenn Sie ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 Dollar haben. Ihr Berater teilt Ihnen außerdem mit, dass das System in den letzten 300 Monaten Erträge mit einem Durchschnittswert von 190 USD und einer Standardabweichung von 75 USD erzielt hat. Sollten Sie in dieses System investieren?

Hypothesentests helfen bei der Entscheidungsfindung.

Dieser Artikel setzt die Vertrautheit der Leser mit den Konzepten einer normalen Verteilungstabelle, Formel, p-Wert und verwandten Grundlagen der Statistik voraus.

Weitere Informationen über die praktische Anwendung von Daten zur Bestimmung des Risikos finden Sie unter "5 Möglichkeiten zur Messung des Risikos eines Fonds."

Hypothesentest (oder Signifikanztest) ist ein mathematisches Modell zum Testen eines Anspruchs, einer Idee oder Hypothese. über einen interessierenden Parameter in einem gegebenen Populationssatz unter Verwendung von in einem Probensatz gemessenen Daten. An ausgewählten Stichproben werden Berechnungen durchgeführt, um aussagekräftigere Informationen über Merkmale der gesamten Population zu erhalten, was eine systematische Möglichkeit zum Testen von Behauptungen oder Ideen über den gesamten Datensatz ermöglicht.

Hier ein einfaches Beispiel: (A) Ein Schulleiter berichtet, dass die Schüler in ihrer Schule im Durchschnitt 7 von 10 Punkten in den Prüfungen erreichen. Um diese "Hypothese" zu testen, nehmen wir Noten von etwa 30 Schülern (Stichprobe) von der gesamten Schülerschaft der Schule (sagen wir 300) auf und berechnen den Mittelwert dieser Stichprobe. Wir können dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (berichteten) Bevölkerungsdurchschnitt vergleichen und versuchen, die Hypothese zu bestätigen.

Ein weiteres Beispiel: (B) Die jährliche Rendite eines bestimmten Investmentfonds beträgt 8%. Angenommen, der Investmentfonds existiert seit 20 Jahren. Wir nehmen eine Stichprobe von jährlichen Renditen des Investmentfonds für, sagen wir, fünf Jahre (Stichprobe) und berechnen seinen Mittelwert. Wir vergleichen dann den (berechneten) Stichprobenmittelwert mit dem (behaupteten) Bevölkerungsdurchschnitt, um die Hypothese zu verifizieren.

Es gibt verschiedene Methoden für das Testen von Hypothesen. Die folgenden vier grundlegenden Schritte sind beteiligt: ​​

Schritt 1: Definieren Sie die Hypothese:

Normalerweise wird der gemeldete Wert (oder die Anspruchsstatistik) als Hypothese angegeben und als wahr angenommen. Für die obigen Beispiele wird die Hypothese sein:

• Beispiel A: Schüler in der Schule schneiden im Durchschnitt 7 von 10 Prüfungen ab
• Beispiel B: Jährliche Rendite des Investmentfonds beträgt 8% pro Jahr

Beschreibung stellt die " Nullhypothese (H ₀ ) " dar und wird als angenommen, um wahr zu sein. Wie ein Geschworenengericht beginnt die Prüfung mit der Annahme der Unschuld des Verdächtigen, gefolgt von der Feststellung, ob die Annahme falsch ist. In ähnlicher Weise beginnt das Hypothesentesten mit der Angabe und Annahme der "Nullhypothese", und dann bestimmt der Prozess, ob die Annahme wahrscheinlich wahr oder falsch ist.

Der wichtige Punkt, der beachtet werden muss, ist, dass wir die Nullhypothese testen, weil ein Zweifel an ihrer Gültigkeit besteht. Welche Information auch immer gegen die angegebene Nullhypothese ist, wird in der Alternativhypothese (H ₁ ) festgehalten. Für die obigen Beispiele wird eine alternative Hypothese lauten:

• Die Schüler erhalten einen Durchschnitt, der nicht ist, gleich 7
• Die jährliche Rendite des Investmentfonds ist nicht bis 8% pro Jahr

Zusammenfassend ist die alternative Hypothese ein direkter Widerspruch zur Nullhypothese.

Wie in einer Gerichtsverhandlung nimmt die Jury die Unschuld des Verdächtigen an (Nullhypothese). Der Staatsanwalt muss etwas anderes nachweisen (alternativ). Ebenso muss der Forscher beweisen, dass die Nullhypothese entweder wahr oder falsch ist. Wenn der Staatsanwalt es versäumt, die alternative Hypothese zu beweisen, muss die Jury den "Verdächtigen" loslassen (basierend auf der Nullhypothese). Wenn der Forscher keine alternative Hypothese beweist (oder einfach nichts tut), wird die Nullhypothese als wahr angenommen.

Schritt 2: Setzen Sie die Entscheidungskriterien

Die Entscheidungskriterien müssen auf bestimmten Parametern von Datensätzen basieren und hier kommt die Verbindung zur Normalverteilung ins Spiel.

Gemäß dem Standardstatistik-Postulat über die Stichprobenverteilung: "Für jede Stichprobengröße n ist die Stichprobenverteilung von X̅ normal, wenn die Population X, aus der die Stichprobe gezogen wird, normal verteilt ist. Daher sind die Wahrscheinlichkeiten von , die alle anderen möglichen Abtastmittelwerte , die man auswählen könnte, normalverteilt sind.

Für e. G. bestimmen, ob die durchschnittliche tägliche Rendite aller Aktien, die an der XYZ-Börse notiert sind, um die Neujahrszeit größer als 2% ist.

H ₀ : Nullhypothese: Mittelwert = 2%

H ₁ : Alternative Hypothese: Mittelwert> 2% (Das wollen wir beweisen)

Nehmen Sie die Stichprobe (sagen wir 50 von insgesamt 500) und berechnen Sie den Mittelwert der Stichprobe.

Bei einer Normalverteilung liegen 95% der Werte innerhalb von 2 Standardabweichungen des Bevölkerungsdurchschnitts. Daher erlaubt diese Normalverteilung und zentrale Grenzannahme für den Stichprobendatensatz, 5% als Signifikanzniveau festzulegen. Es ist sinnvoll, dass es unter dieser Annahme weniger als 5% Wahrscheinlichkeit (100-95) gibt, Ausreißer zu erhalten, die über 2 Standardabweichungen vom Bevölkerungsdurchschnitt hinausgehen. Abhängig von der Art der Datensätze können andere Signifikanzniveaus bei 1%, 5% oder 10% genommen werden. Für finanzielle Berechnungen (einschließlich Behavioral Finance) ist 5% das allgemein akzeptierte Limit. Wenn wir irgendwelche Berechnungen finden, die über die üblichen 2 Standardabweichungen hinausgehen, dann haben wir einen starken Fall von Ausreißern, um die Nullhypothese abzulehnen. Standardabweichungen sind extrem wichtig für das Verständnis statistischer Daten. Erfahren Sie mehr über sie, indem Sie sich das Video von Investopedia über Standardabweichungen ansehen.

Grafisch wird es wie folgt dargestellt:

Wenn im obigen Beispiel der Mittelwert der Stichprobe viel größer als 2% ist (z. B. 3,5%), weisen wir die Nullhypothese zurück.Die alternative Hypothese (Mittelwert> 2%) wird akzeptiert, was bestätigt, dass die durchschnittliche tägliche Rendite der Aktien tatsächlich über 2% liegt.

Wenn jedoch der Mittelwert der Stichprobe wahrscheinlich nicht wesentlich größer als 2% ist (und bei etwa 2,2% bleibt), dann können wir die Nullhypothese NICHT ablehnen. Die Herausforderung liegt darin, wie man sich für solche Nahbereichsfälle entscheidet. Um aus ausgewählten Stichproben und Ergebnissen eine Schlussfolgerung zu ziehen, muss ein Signifikanzniveau bestimmt werden, das einen Rückschluss auf die Nullhypothese erlaubt. Die alternative Hypothese ermöglicht die Festlegung des Signifikanzniveaus oder des Konzepts des "kritischen Werts" für die Entscheidung über solche Nahbereichsfälle. Gemäß der Standarddefinition ist "Ein kritischer Wert ein Grenzwert, der die Grenzen definiert, ab denen weniger als 5% der Stichprobe Mittel können erhalten werden, wenn die Nullhypothese wahr ist.Mustermittel, die jenseits eines kritischen Wertes erhalten werden, führen zu einer Entscheidung, die Nullhypothese abzulehnen. "Im obigen Beispiel haben wir den kritischen Wert als 2,1% definiert, und die der berechnete Mittelwert liegt bei 2, 2%, dann lehnen wir die Nullhypothese ab, ein kritischer Wert stellt eine klare Abgrenzung zu Akzeptanz oder Ablehnung her.

Weitere Beispiele folgen - Zuerst aber einige Schlüsselschritte und Konzepte.

Schritt 3: Berechnen Sie die Teststatistik:

Dieser Schritt beinhaltet die Berechnung der erforderlichen Zahl (en), bekannt als Teststatistik (wie Mittelwert, Z-Score, p-Wert usw.) für das ausgewählte Sample. Die verschiedenen zu berechnenden Werte werden abgedeckt in einem späteren Abschnitt mit Beispielen.

Schritt 4: Schlüsse auf die Hypothese treffen

Mit dem / den berechneten Wert (en) entscheiden Sie sich für die Nullhypothese. Wenn die Wahrscheinlichkeit, eine Stichprobe zu erhalten, kleiner als 5% ist, dann ist die Schlussfolgerung, die Nullhypothese abzulehnen. Ansonsten akzeptieren Sie und behalten Sie die Nullhypothese bei. Arten von Fehlern bei der Entscheidungsfindung:

Bei der Stichprobenentscheidung kann es vier mögliche Ergebnisse hinsichtlich der korrekten Anwendbarkeit auf die gesamte Bevölkerung geben:

Entscheidung zur Beibehaltung

Entscheidung zur Zurückweisung > Gilt für die gesamte Population	Korrigieren
Falsch	(TYP 1 Fehler - a)	Gilt nicht für die gesamte Population Falsch
(TYP 2 Fehler - b)	Richtig Die "Korrekten" Fälle sind diejenigen, bei denen die an den Stichproben getroffenen Entscheidungen wirklich für die gesamte Bevölkerung gelten. Die Fälle von Fehlern entstehen, wenn man beschließt, die Nullhypothese auf der Grundlage von Stichprobenberechnungen beizubehalten (oder abzulehnen), aber diese Entscheidung trifft nicht wirklich auf die gesamte Bevölkerung zu. Diese Fälle stellen Fehler vom Typ 1 (Alpha) und Typ 2 (Beta) dar, wie in der obigen Tabelle angegeben.	Die Auswahl des korrekten kritischen Wertes ermöglicht es, die Alpha-Fehler vom Typ 1 zu eliminieren oder auf einen akzeptablen Bereich zu begrenzen.

Alpha bezeichnet den Fehler auf der Signifikanzstufe und wird vom Forscher bestimmt. Um die Standard-5% -Signifikanz oder das Konfidenzniveau für Wahrscheinlichkeitsberechnungen beizubehalten, wird dies bei 5% beibehalten.

Gemäß den anwendbaren Entscheidungsgrundlagen und Definitionen:

"Dieses (Alpha) Kriterium wird normalerweise auf 0 gesetzt.05 (a = 0. 05), und wir vergleichen den Alpha-Level mit dem p-Wert. Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers vom Typ I weniger als 5% beträgt (p <0,55), beschließen wir, die Nullhypothese abzulehnen. Andernfalls behalten wir die Nullhypothese bei. "

Der für diese Wahrscheinlichkeit verwendete Fachausdruck ist

• p-Wert
• . Es ist definiert als "die Wahrscheinlichkeit, ein Probenergebnis zu erhalten, da der in der Nullhypothese angegebene Wert wahr ist. Der p-Wert zum Erhalten eines Probenergebnisses wird mit dem Signifikanzniveau verglichen ". Ein Typ-II-Fehler oder Beta-Fehler ist definiert als "die Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise beizubehalten, obwohl sie in der Tat nicht auf die gesamte Population anwendbar ist. " Einige weitere Beispiele werden diese und andere Berechnungen zeigen.
• Beispiel 1. Es existiert ein monatliches Einkommensanlageprogramm, das variable monatliche Renditen verspricht. Ein Investor wird nur dann in ihn investieren, wenn er ein durchschnittliches monatliches Einkommen von 180 Dollar hat. Er hat eine Stichprobe von 300 Monaten, die einen Durchschnittswert von $ 190 und eine Standardabweichung von $ 75 hat. Soll er in dieses System investieren?

Lassen Sie uns das Problem einrichten. Der Investor wird in das System investieren, wenn ihm die gewünschte durchschnittliche Rendite von 180 USD zugesichert wird. Hier,

H

0

: Nullhypothese: Mittelwert = 180 _H 1

: Alternative Hypothese: Mittelwert> 180 _{Methode 1 -} Kritischer Wertansatz :

Identifizieren Sie einen kritischen Wert X L

für den Stichprobenmittelwert, der groß genug ist, um die Nullhypothese abzulehnen - i. e. lehnt die Nullhypothese ab, wenn der Stichprobenmittelwert> = kritischer Wert X _L P (Identifizieren eines Alphafehlers vom Typ I) = P (Zurückweisung von H ₀

, wobei H ₀ ist wahr), _{was erreicht werden würde, wenn der Probenmittelwert die kritischen Grenzen i überschreitet. e.} = P (gegeben, dass H

0

wahr ist) = alpha _Grafisch, Nimmt alpha = 0, 05 (d.h. 5% Signifikanzniveau), Z

0. 05

= 1. 645 (aus der Z-Tabelle oder Normalverteilungstabelle) _{=> X} L

= 180 +1. 645 * (75 / sqrt (300)) = 187. 12 _{Da der Stichprobenmittelwert (190) größer als der kritische Wert (187. 12) ist, wird die Nullhypothese abgelehnt, und die Schlussfolgerung ist, dass die durchschnittliche monatliche Rendite in der Tat mehr als $ 180, so dass der Investor in Betracht ziehen kann, in dieses System zu investieren.} Methode 2 - Verwendung von standardisierten Teststatistiken

:

Man kann auch den standardisierten Wert z verwenden. Teststatistik, Z = (Stichprobenmittelwert - Grundgesamtheit) / (std-dev / sqrt (Anzahl der Stichproben), dh

Dann wird der Zurückweisungsbereich zu

Z = (190 - 180) / ( 75 / sqrt (300)) = 2. 309

Unsere Zurückweisungsregion bei 5% Signifikanzniveau ist Z> Z

0, 05

= 1. 645 _{Da Z = 2. 309 ist größer als 1. 645 kann die Nullhypothese mit der oben erwähnten ähnlichen Schlussfolgerung zurückgewiesen werden.} Methode 3 - P-Wert-Berechnung:

Wir versuchen, P zu identifizieren (Stichprobenmittelwert> = 190, wenn Mittelwert = 180) < = P (Z> = (190 - 180) / (75 / √ 300))

= P (Z> = 2. 309) = 0. 0084 = 0,84%

Die folgende Tabelle um p-Wert-Berechnungen zu folgern, kommt man zu dem Schluss, dass bestätigte Belege dafür vorliegen, dass die monatlichen Durchschnittsrenditen höher als 180 sind.

p-Wert

Inferenz

weniger als 1%

Bestätigte Evidenz	unterstützt alternative Hypothese
zwischen 1% und 5%	Starke Evidenz unterstützt alternative Hypothese > zwischen 5% und 10%
Schwachbeweis	unterstützt alternative Hypothese größer als 10%
kein Beleg	zur Unterstützung alternativer Hypothesen Beispiel 2: Ein neuer Börsenmakler (XYZ) dass seine Brokerraten niedriger sind als die Ihres aktuellen Börsenmaklers (ABC). Daten, die von einem unabhängigen Forschungsunternehmen zur Verfügung gestellt werden, weisen darauf hin, dass der Mittelwert und der Standardabgabewert aller ABC-Broker-Kunden 18 bzw. 6 USD betragen.
Eine Stichprobe von 100 Kunden von ABC wird genommen und die Maklergebühren werden mit den neuen Raten des XYZ-Brokers berechnet. Wenn der Durchschnitt der Stichprobe $ 18 ist. 75 und std-dev ist gleich ($ 6), kann man auf den Unterschied in der durchschnittlichen Maklerrechnung zwischen ABC und XYZ-Broker schließen?	H 0

: Nullhypothese: Mittelwert = 18

H

1 _{: Alternative Hypothese: Mittelwert 18 (Das wollen wir beweisen)} Ablehnungsbereich: Z <= - z

2. 5 _{und Z> = Z} 2. 5

(unter der Annahme von 5% Signifikanzniveau, Teilung 2. 5 jeweils auf jeder Seite) _{Z = (Mittelwert der Stichprobe) / (std-dev / sqrt (Anzahl der Stichproben)} = (18 75 - 18) / (6 / (sqrt (100)) = 1. 25 _{Dieser berechnete Z-Wert liegt zwischen den beiden Grenzen, definiert durch} - Z

2. 5

= -1 96 und Z

2. 5

= 1. 96. _{Daraus ergibt sich, dass es keine ausreichenden Beweise dafür gibt, dass zwischen den Kursen Ihres bestehenden und neuen Brokers Unterschiede bestehen.} Der p-Wert = P (Z1.25) _{= 2 * 0. 1056 = 0. 2112 = 21. 12% was größer als 0. 05 oder 5% ist, was zu der gleichen Schlussfolgerung führt.} Grafisch , wird es wie folgt dargestellt:

Kritikpunkte für die hypothetische Prüfung Methode:

-

Statistische Methode auf der Basis von Annahmen

- Fehleranfällig in Bezug auf Alpha- und Beta-Fehler

- Interpretation der p-Wert kann mehrdeutig sein, was zu verwirrenden Ergebnissen führt

Die Bottom-Line Hypothesentestung ermöglicht es einem mathematischen Modell, einen Anspruch oder eine Idee mit bestimmtes Konfidenzniveau. Wie die Mehrheit der statistischen Werkzeuge und Modelle ist auch dies an einige Einschränkungen gebunden. Die Verwendung dieses Modells für finanzielle Entscheidungen sollte unter Berücksichtigung aller Abhängigkeiten kritisch betrachtet werden. Alternative Methoden wie Bayesian Inference sind es wert, für ähnliche Analyse zu erkunden.