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Der Value-at-Risk (VaR) ist ein statistisches Risikomanagementverfahren, das die Höhe des mit einem Portfolio verbundenen finanziellen Risikos bestimmt. Es gibt im Allgemeinen zwei Arten von Risikopositionen in einem Portfolio: linear oder nichtlinear. Ein Portfolio, das eine signifikante Menge nichtlinearer Derivate enthält, ist nichtlinearen Risikopositionen ausgesetzt.

Der VaR eines Portfolios misst die Höhe des potenziellen Verlustes innerhalb eines bestimmten Zeitraums mit einem gewissen Grad an Vertrauen. Betrachten Sie zum Beispiel ein Portfolio mit einem 1-Tages-Wert von 1% und einem Risiko von 5 Mio. USD. Mit 99% Zuversicht wird der erwartete schlimmste tägliche Verlust 5 Mio. USD nicht überschreiten. Es besteht eine Chance von 1%, dass das Portfolio an einem bestimmten Tag mehr als 5 Mio. USD verlieren könnte.

Nichtlineare Risikopositionen entstehen bei der VaR-Berechnung eines Derivate-Portfolios. Nichtlineare Derivate, wie Optionen, hängen von einer Vielzahl von Merkmalen ab, einschließlich der impliziten Volatilität, der Restlaufzeit, des Preises der zugrunde liegenden Vermögenswerte und des aktuellen Zinssatzes. Es ist schwierig, die historischen Daten zu den Renditen zu erfassen, da die Optionsrückgaben von allen Merkmalen abhängig gemacht werden müssten, um den Standard-VaR-Ansatz zu verwenden. Die Eingabe aller mit den Optionen verbundenen Merkmale in das Black-Scholes-Modell oder ein anderes Optionspreismodell führt dazu, dass die Modelle nichtlinear sind.

Daher sind die Auszahlungskurven oder die Optionsprämie in Abhängigkeit von den zugrunde liegenden Vermögenspreisen nichtlinear. Angenommen, es gibt eine Änderung des Aktienkurses, die in das Black-Scholes-Modell eingegeben wird. Der entsprechende Wert ist aufgrund des Zeit- und Volatilitätsanteils des Modells nicht proportional zum Input, da es sich bei Optionen um die Vergeudung von Vermögenswerten handelt.

Die Nichtlinearität von Derivaten führt zu nichtlinearen Risikopositionen im VaR eines Portfolios mit nichtlinearen Derivaten. Nichtlinearität ist im Payoff-Diagramm der Plain-Vanilla Call-Option leicht zu erkennen. Das Auszahlungsdiagramm hat ein starkes positives konvexes Auszahlungsprofil vor dem Verfallsdatum der Option in Bezug auf den Aktienkurs. Wenn die Call-Option einen Punkt erreicht, an dem die Option im Geld ist, erreicht sie einen Punkt, an dem die Auszahlung linear wird. Umgekehrt, wenn eine Call-Option zunehmend aus dem Geld kommt, sinkt die Rate, mit der die Option Geld verliert, bis die Optionsprämie Null ist.

Wenn ein Portfolio nichtlineare Derivate wie Optionen enthält, wird die Portfolio-Renditeverteilung einen positiven oder negativen Skew oder eine hohe oder niedrige Kurtosis aufweisen. Die Schiefe misst die Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung um ihren Mittelwert. Kurtosis misst die Verteilung um den Mittelwert; eine hohe Kurtosis hat dickere Schwanzenden der Verteilung, und eine niedrige Kurtosis hat dünne Schwanzenden der Verteilung.Daher ist es schwierig, die VaR-Methode zu verwenden, die davon ausgeht, dass die Renditen normal verteilt sind. Stattdessen wird die VaR-Berechnung eines Portfolios, das nichtlineare Risikopositionen enthält, normalerweise mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen von Optionspreismodellen berechnet, um den VaR des Portfolios zu schätzen.