Die Normalverteilungsformel basiert auf zwei einfachen Parametern - Mittelwert und Standardabweichung - die den Merkmale eines bestimmten Datensatzes. Während der Mittelwert den "zentralen" oder Durchschnittswert des gesamten Datensatzes angibt, gibt die Standardabweichung die "Streuung" oder Variation von Datenpunkten um diesen Mittelwert an.

Betrachten Sie die folgenden 2 Datensätze:

Dataset 1 = {10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10}

Datensatz 2 = {6, 8, 10, 12, 14, 14, 12, 10, 8, 6}

Für Dataset1, Mittelwert = 10 und Standardabweichung (stddev) = 0

Für Dataset2, Mittelwert = 10 und Standardabweichung (stddev) = 2. 83

Lassen Sie uns diese Werte für DataSet1 aufzeichnen:

Ähnlich für DataSet2:

Die rote horizontale Linie in beiden obigen Diagrammen zeigt den "mittleren" oder Durchschnittswert jedes Datensatzes an (in beiden Fällen 10). Die rosa Pfeile im zweiten Diagramm zeigen die Streuung oder Variation der Datenwerte vom Mittelwert an. Dies wird durch den Standardabweichungswert von 2,83 im Fall von DataSet2 dargestellt. Da DataSet1 alle Werte dieselben (wie jeweils 10) und keine Variationen hat, ist der Wert stddev Null, und daher sind keine rosa Pfeile anwendbar.

Der Wert stddev hat einige signifikante und nützliche Eigenschaften, die bei der Datenanalyse sehr hilfreich sind. Für eine Normalverteilung sind die Datenwerte symmetrisch auf jeder Seite des Mittelwerts verteilt. Für jedes normal verteilte Dataset wird ein Diagramm mit stddev auf der horizontalen Achse und Nr. von Datenwerten auf der vertikalen Achse wird das folgende Diagramm erhalten.

Eigenschaften einer Normalverteilung

1. Die Normalkurve ist symmetrisch zum Mittelwert;
2. Der Mittelwert ist in der Mitte und teilt den Bereich in zwei Hälften;
3. Die Gesamtfläche unter der Kurve ist gleich 1 für Mittelwert = 0 und stdev = 1;
4. Die Verteilung wird durch ihren Mittelwert und stddev

vollständig beschrieben. Wie aus dem obigen Diagramm ersichtlich ist, stellt stddev Folgendes dar:

• 68. 3% der Datenwerte liegen innerhalb von 1 Standardabweichung des Mittelwerts (-1 bis +1)
• 95. 4% der Datenwerte liegen innerhalb von 2 Standardabweichungen des Mittelwerts (-2 bis +2)
• 99. 7% der Datenwerte liegen innerhalb von 3 Standardabweichungen des Mittelwerts (-3 bis +3)

Die Fläche unter der glockenförmigen Kurve gibt bei der Messung die gewünschte Wahrscheinlichkeit für einen gegebenen Wert an. Bereich:

• kleiner als X: - e. G. Wahrscheinlichkeit von Datenwerten, die kleiner als 70
• größer als X - e sind. G. Wahrscheinlichkeit von Datenwerten, die größer als 95
• zwischen X ₁ und X ₂ - e sind. G. Wahrscheinlichkeit von Datenwerten zwischen 65 und 85

wobei X ein interessierender Wert ist (Beispiele unten).

Das Plotten und Berechnen des Bereichs ist nicht immer bequem, da unterschiedliche Datensätze unterschiedliche Mittelwerte und Standardwerte haben.Um ein einheitliches Standardverfahren für einfache Berechnungen und Anwendbarkeit auf reale Probleme zu ermöglichen, wurde die Standardumwandlung in Z-Werte eingeführt, die den Teil der Normalverteilungstabelle bilden.

Z = (X - Mittelwert) / stddev, wobei X die Zufallsvariable ist.

Grundsätzlich zwingt diese Umwandlung den Mittelwert und stddev dazu, auf 0 bzw. 1 standardisiert zu werden, was ermöglicht, dass ein standarddefinierter Satz von Z-Werten (aus der Normalverteilungstabelle ) für einfache Berechnungen verwendet wird. .. Ein Schnappschuss der Standard-Z-Wert-Tabelle mit Wahrscheinlichkeitswerten lautet wie folgt:

z	0. 00	0. 01	0. 02	0. 03	0. 04	0. 05	0. 06
0. 0	0. 00000	0. 00399	0. 00798	0. 01197	0. 01595	0. 01994	…
0. 1	0. 0398	0. 04380	0. 04776	0. 05172	0. 05567	0. 05966	…
0. 2	0. 0793	0. 08317	0. 08706	0. 09095	0. 09483	0. 09871	…
0. 3	0. 11791	0. 12172	0. 12552	0. 12930	0. 13307	0. 13683	…
0. 4	0. 15542	0. 15910	0. 16276	0. 16640	0. 17003	0. 17364	…
0. 5	0. 19146	0. 19497	0. 19847	0. 20194	0. 20540	0. 20884	…
0. 6	0. 22575	0. 22907	0. 23237	0. 23565	0. 23891	0. 24215	…
0. 7	0. 25804	0. 26115	0. 26424	0. 26730	0. 27035	0. 27337	…
…	…	…	…	…	…	…	…

So ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit für den Z-Wert von 0. 239865 , zuerst runden Sie es auf 2 Dezimalstellen (dh 0. 24). Überprüfen Sie dann die ersten beiden signifikanten Ziffern (0. 2) in den Zeilen und die niederwertigste Ziffer (verbleibende 0. 04) in der Spalte. Das führt zum Wert von 0. 09483.

Die vollständige Normalverteilungstabelle mit Genauigkeit bis zu 5 Dezimalstellen für Wahrscheinlichkeitswerte (einschließlich derjenigen für negative Werte) finden Sie hier.

Sehen wir uns Beispiele aus der Praxis an. Die Größe von Personen in einer großen Gruppe folgt einem normalen Verteilungsmuster. Nehmen wir an, wir haben einen Satz von 100 Individuen, deren Höhen aufgezeichnet werden und der Mittelwert und der Standardwert werden auf 66 bzw. 6 Zoll berechnet.

Hier einige Beispielfragen, die mit Hilfe der Z-Wert-Tabelle leicht beantwortet werden können:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in der Gruppe 70 Zoll oder weniger ist?

Frage ist, kumulativen Wert von P (X <= 70) i ​​zu finden. e. im gesamten Datensatz von 100, wie viele Werte zwischen 0 und 70 liegen.

Zunächst konvertieren wir den X-Wert von 70 in den äquivalenten Z-Wert.

Z = (X - Mittelwert) / stddev = (70-66) / 6 = 4/6 = 0. 66667 = 0. 67 (auf 2 Dezimalstellen runden)

Wir müssen nun P (Z) finden <= 0. 67) = 0. 24857 (aus der obigen z-Tabelle)

i. e. Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von 24.857%, dass eine Person in der Gruppe kleiner oder gleich 70 Zoll ist.

Aber halt mal - das Obige ist unvollständig.Denken Sie daran, wir suchen nach der Wahrscheinlichkeit aller möglichen Höhen bis zu 70 i. e. von 0 bis 70. Das obige gibt nur den Abschnitt vom Mittelwert zum gewünschten Wert an (d. h. 66 bis 70). Wir müssen die andere Hälfte einbeziehen - von 0 bis 66 - um die richtige Antwort zu erhalten.

Da 0 bis 66 den halben Anteil (dh einen Extremwert zum mittleren Mittelwert) darstellt, ist seine Wahrscheinlichkeit einfach 0. 5.

Daher ist die korrekte Wahrscheinlichkeit einer Person 70 Zoll oder weniger = 0. 24857 + 0. 5 = 0. 74857 = 74. 857%

Grafisch (durch Berechnen des Bereichs) sind dies die beiden summierten Bereiche, die die Lösung darstellen:

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person 75 Zoll oder mehr ist?

ich. e. Finde Komplementäres Kumulatives P (X> = 75).

Z = (X - Mittelwert) / stddev = (75-66) / 6 = 9/6 = 1. 5

P (Z> = 1. 5) = 1 - P (Z <= 1. 5) = 1 - (0. 5 + 0. 43319) = 0. 06681 = 6. 681%

• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich eine Person zwischen 52 und 67 Zoll bewegt?

Finde P (52 <= x <= 67).

P (52 <= x <= 67) = p [(52-66) / 6 <= z <= (67-66) / 6] = p (-2. 33 <= z <= 0. 17)

= P (Z <= 0. 17) -p (Z <= -0. 233) = (0, 5 + 0, 56749) - (. 40905) =

Dies normal Verteilungstabelle (und Z-Werte) findet häufig Verwendung für Wahrscheinlichkeitsberechnungen bei erwarteten Kursbewegungen von Aktien und Indizes am Aktienmarkt. Sie werden im bereichsbasierten Handel verwendet und identifizieren Aufwärtstrend- oder Abwärtstrend-, Unterstützungs- oder Widerstandsniveaus und andere technische Indikatoren, die auf normalen Verteilungskonzepten von Mittelwert und Standardabweichung basieren.