Eine der häufigsten Methoden zur Risikobewertung ist die Verwendung einer Monte-Carlo-Simulation (MCS). Um beispielsweise den Value-at-Risk (VaR) eines Portfolios zu berechnen, können wir eine Monte-Carlo-Simulation durchführen, die den für ein Portfolio mit einem Konfidenzintervall über einen bestimmten Zeithorizont erwarteten höchstwahrscheinlichen Verlust vorhersagt. Bedingungen für VaR: Vertrauen und Horizont. (Zum diesbezüglichen Lesen siehe Die Verwendungen und Grenzen der Volatilität und Einführung in den Value at Risk (VAR) - Teil 1 und Teil 2 .)

In diesem Artikel werden wir eine grundlegende MCS für einen Aktienkurs prüfen. Wir brauchen ein Modell, um das Verhalten des Aktienkurses zu spezifizieren, und wir werden eines der gebräuchlichsten Modelle im Finanzwesen verwenden: die geometrische Brownsche Bewegung (GBM). Während sich die Monte-Carlo-Simulation also auf ein Universum verschiedener Simulationsansätze beziehen kann, werden wir hier mit den grundlegendsten beginnen.

Wo soll ich anfangen? Eine Monte-Carlo-Simulation ist ein Versuch, die Zukunft vielfach vorherzusagen. Am Ende der Simulation erzeugen Tausende oder Millionen von "Zufallstests" eine Verteilung von Ergebnissen, die analysiert werden können. Die grundlegenden Schritte sind:

1. Geben Sie ein Modell an (z. B. geometrische Brownsche Bewegung)
2. Erzeugen Sie Stichproben
3. Verarbeiten Sie die Ausgabe

1. Spezifizieren Sie ein Modell (z. B. GBM)
In diesem Artikel verwenden wir die geometrische Brownsche Bewegung (GBM), die technisch gesehen ein Markov-Prozess ist. Dies bedeutet, dass der Aktienkurs einem Irrweg folgt und (zumindest) der schwachen Form der Efficient Market Hypothese (EMH) entspricht: frühere Kursinformationen sind bereits vorhanden und die nächste Kursbewegung ist "bedingt unabhängig" von der Vergangenheit Preisbewegungen. (Weitere Informationen zu EMH finden Sie unter Durcharbeiten der effizienten Markthypothese und Was ist Markteffizienz? )

Die Formel für GBM befindet sich unten, wobei "S" der Aktienkurs ist, "m" (der griechische mu) der erwartete Ertrag ist, "s" (griechischer sigma) die Standardabweichung ist. von Renditen, "t" ist Zeit, und "e" (griechisches Epsilon) ist die Zufallsvariable:

Wenn wir die Formel um nur für die Änderung des Aktienpreises zu lösen neu arrangieren, sehen wir, dass GMB die Änderung des Aktienkurses sagt ist der Aktienkurs "S" multipliziert mit den zwei Begriffen, die in den folgenden Klammern gefunden werden:

Der erste Term ist eine "Drift" und der zweite Term ist ein "Schock". Für jedes Zeitfenster geht unser Modell davon aus, dass der Preis um die erwartete Rendite "driften" wird. Aber die Drift wird durch einen zufälligen Schock schockiert (addiert oder subtrahiert). Der zufällige Schock ist die Standardabweichung "s", multipliziert mit einer Zufallszahl "e". Dies ist einfach eine Möglichkeit, die Standardabweichung zu skalieren.

Das ist die Essenz von GBM, wie in Abbildung 1 dargestellt. Der Aktienkurs folgt einer Reihe von Schritten, wobei jeder Schritt eine Drift plus / minus eines zufälligen Schocks ist (selbst eine Funktion der Standardabweichung des Aktienwerts): > Abbildung 1

2.Generieren Sie Zufallsversuche

Mit einer Modellspezifikation versehen, führen wir dann zufällige Versuche durch. Zur Veranschaulichung haben wir Microsoft Excel verwendet, um 40 Studien durchzuführen. Denken Sie daran, dass dies eine unrealistisch kleine Stichprobe ist; Die meisten Simulationen oder "Sims" laufen mindestens mehrere tausend Versuche. Nehmen wir in diesem Fall an, dass die Aktie am Tag Null mit einem Kurs von 10 $ beginnt. Hier ist ein Diagramm des Ergebnisses, bei dem jeder Zeitschritt (oder Intervall) einen Tag beträgt und die Serie zehn Tage läuft (zusammenfassend: vierzig Versuche mit täglichen Schritten über zehn Tage):

Abbildung 2: Geometrische Brownsche Bewegung > Das Ergebnis sind 40 simulierte Aktienkurse am Ende von 10 Tagen. Keiner ist zufällig unter 9 Dollar gefallen, und einer ist über 11 Dollar.

3. Verarbeiten der Ausgabe

Die Simulation erzeugte eine Verteilung von hypothetischen zukünftigen Ergebnissen. Wir könnten mehrere Dinge mit der Ausgabe machen. Wenn wir zum Beispiel den VaR mit 95% Konfidenz schätzen wollen, müssen wir nur das achtunddreißigste Ergebnis finden (das drittschlechteste Ergebnis). Das ist, weil 2/40 gleich 5% ist, so dass die beiden schlechtesten Ergebnisse in den niedrigsten 5% liegen.

Wenn wir die dargestellten Ergebnisse in Behälter stapeln (jeder Behälter ist ein Drittel von $ 1, also drei Behälter das Intervall von $ 9 bis $ 10), erhalten wir das folgende Histogramm: Abbildung 3

dass unser GBM-Modell Normalität annimmt: Preisrenditen werden normalerweise mit erwarteter Rendite (Mittelwert) "m" und Standardabweichung "s" verteilt. Interessanterweise sieht unser Histogramm nicht normal aus. In der Tat wird es bei mehr Prüfungen nicht zur Normalität tendieren. Stattdessen tendiert sie zu einer lognormalen Verteilung: ein scharfer Abfall links vom Mittelwert und ein stark verzerrter "langer Schwanz" rechts vom Mittelwert. Dies führt bei Erstanfängern oft zu einer potenziell verwirrenden Dynamik:

Preis

Renditen

• werden normalerweise verteilt. Preis Ebenen
• sind log-normal verteilt. Denken Sie darüber nach: Eine Aktie kann um 5% oder 10% nach oben oder unten zurückkehren, aber nach einer gewissen Zeit kann der Aktienkurs nicht negativ sein. Darüber hinaus wirken sich Preissteigerungen nach oben positiv aus, während Preisrückgänge nach unten die Basis reduzieren: Sie verlieren 10% und Sie haben beim nächsten Mal weniger zu verlieren. Hier ist ein Diagramm der Lognormalverteilung, das unseren illustrierten Annahmen überlagert ist (zB Startpreis von $ 10): Abbildung 4

Zusammenfassung

Eine Monte-Carlo-Simulation wendet ein ausgewähltes Modell an (ein Modell, das das Verhalten eines Instrument) zu einer großen Anzahl von Zufallsversuchen, um eine plausible Reihe möglicher künftiger Ergebnisse zu erzielen. Im Hinblick auf die Simulation von Aktienkursen ist das gebräuchlichste Modell die geometrische Brownsche Bewegung (GBM). GBM geht davon aus, dass eine konstante Drift von zufälligen Schocks begleitet wird. Während die unter GBM zurückkehrenden Perioden normalverteilt sind, sind die daraus resultierenden Mehrperioden-Preisstufen (zum Beispiel zehn Tage) lognormal verteilt.

Schauen Sie sich David Harpers Film-Tutorial, Monte-Carlo-Simulation mit geometrischer Brown'scher Bewegung

, an, um mehr zu diesem Thema zu erfahren.